Wykazać sumę trygonometryczną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

Nie jestem pewien czy to miejsce na to zadanie, ale no cóż lepszego nie znalazłem.
Mam taką sumę i chcę udowodnić, że zachodzi.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cos (2k+1)\phi=2^{n}\cos ^{n}\phi\cos (n+1)\phi}\)
Mój pomysł był taki, zaczynam od lewej strony:
\(\displaystyle{ L=\sum_{0}^{n} {n \choose k} \frac{e^{i2k+1\phi}-e^{-i2k+1\phi}}{2}=}\) (1)
Zmieniam granicę sumowania i rozpisuję silnię:
\(\displaystyle{ =\sum_{-n=k}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{e^{i\phi \cdot 2(k+1)}}{2}}\) (2)
No i nie wiem co dalej co z tym zrobić bo sprawdziłem, że nie jest to ciąg geometryczny ani arytmetyczny(to drugie oczywiste).
Zastawiałem się nie można tego udowodnić indukcyjnie, ale wtedy wydaję się że wrzucę się w głębokie obliczenia trygonometryczne.(zakładając, że biorę indukcję po n)
Edit. Poprawa Granic. I teraz zorientowałem się, że przejście z (1) do (2) jest chyba nie prawidłowe ze względu na to że silnia ma argumenty dodatnie.
Ostatnio zmieniony 8 lis 2018, o 10:37 przez Unforg1ven, łącznie zmieniany 5 razy.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: a4karo »

Suma od zera do \(\displaystyle{ k}\) nie wygląda dobrze. A może spróbować zwykłą indukcją?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: Janusz Tracz »

Proponuję takie rozwiązanie::    
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

Janusz Tracz pisze:
Proponuję takie rozwiązanie::    
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: Premislav »

Dopisz tam sobie sztucznie \(\displaystyle{ 1^{n-k}}\) i skorzystaj ze wzoru dwumianowego Newtona.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

Liczę to dalej i zacinam się przy rozpisywaniu części rzeczywistej:
Konkretniej dochodzę do:
\(\displaystyle{ \Re\left\{ e^{i\phi}(1+e^{2i\phi})^{n} \right\}}\)
Jak to dalej pociągnąć?

I czy dobrze myślę, że:
\(\displaystyle{ \Re{{z_{1}z_{2}}=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}}\)
,gdzie \(\displaystyle{ z_{n}=a_{n}+b_{n}i}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: Premislav »

Tak, dobrze myślisz.

Może pomoże ten fakt, który napisałeś oraz takie spostrzeżenie:
\(\displaystyle{ 1+e^{2i\phi}=1+\cos(2\phi)+i\sin(2\phi)=\\=2\cos^2 \phi+i\cdot 2\sin \phi\cos \phi=\\=2\cos \phi e^{i\phi}}\)
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać sumę trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

Dobra dzięki poradziłem sobie. : P
ODPOWIEDZ