Wykazać tożsamość trygonometryczną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

Prosiłbym o wskazówkę do następującego zadania.
Wykaż ,że:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{22} \right) -\sin \left( \frac{3\pi}{22} \right) +\sin \left( \frac{5\pi}{22} \right) -\sin \left( \frac{7\pi}{22} \right) +\sin \left( \frac{9\pi}{22} \right) =\frac{1}{2}}\)
(wsk: suma pierwiastków 11-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\)).
Mam tą sumę pierwiastków:
\(\displaystyle{ 1+e^{\frac{1\pi}{11}}+...+ e^{\frac{10\pi}{11}}\)
I rozbijam to na dwa równania dla cześć rzeczywistej i zespolonej
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{11}+...+\sin\frac{10\pi}{11}=0}\) (1)

\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{11}+...+\cos\frac{10\pi}{11}=-1}\) (2)
Próbowałem (1) i (2) rozbijać za pomocą wzoru na kąt połówkowy, jednak nie wiem jak dalej pociągnąć ten dowód.
Edit: poprawiłem sumę (2)
Ostatnio zmieniony 7 lis 2018, o 16:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: Premislav »

Coś chyba źle policzyłeś, suma tych cosinusów powinna być równa \(\displaystyle{ -1}\).

Mam trochę inny pomysł na to zadanie, bo w tej chwili nie bardzo widzę, jak wykorzystać wskazówkę w sposób, który nie przytłoczy nas obliczeniami.
Oczywiście mamy
\(\displaystyle{ 2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y)}\), zatem
\(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi}{22})-\sin(\frac{3\pi}{22})+\sin(\frac{5\pi}{22})-\sin(\frac{7\pi}{22})+\sin(\frac{9\pi}{22})=\\= \frac{1}{2\cos \left( \frac{\pi}{22}\right) }\left( 2\sin\left( \frac{\pi}{22}\right)\cos\left( \frac{\pi}{22}\right) -2\cos\left( \frac{\pi}{22}\right) \sin\left( \frac{3\pi}{22}\right)+\ldots+2\cos\left( \frac{\pi}{22}\right)\sin\left( \frac{9\pi}{22}\right) \right) =\\=\frac{1}{2\cos\left( \frac{\pi}{22}\right)}\left( \sin\left( \frac{\pi}{11}\right)-\sin\left( \frac{\pi}{11}\right) -\sin\left( \frac{2\pi}{11}\right)+\sin\left( \frac{2\pi}{11}\right)\ldots +\sin\left( \frac{5\pi}{11}\right) \right)=\\= \frac{\sin\left( \frac{5\pi}{11}\right) }{2\cos\left( \frac{\pi}{22}\right) }}\),
(w nawiasie wszystko oprócz tego ostatniego się skraca)
i wystarczy skorzystać z \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{2}-x\right) =\cos x}\), by zakończyć dowód.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

Wybacz mi być może durne pytanie, czemu suma tych cosinusów ma być równa -1 a nie 0?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: Premislav »

Bo jeszcze w tej sumie pierwiastków było \(\displaystyle{ 1=\cos 0+i\sin 0}\).
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

A dobra faktycznie źle przeczytałem zadanie cały czas myślałem, że suma pierwiastków jest równa 1.
Edit: co i tak nie pomaga mi w rozwiązaniu tego, bez bawienia sie w wzory trygonometryczne jak Premislav.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: Premislav »

Raczej jakieś wzory trygonometryczne trzeba zastosować.
Mamy \(\displaystyle{ \sin x=\cos\left( \frac{\pi}{2}-x\right)}\), więc
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{22} \right) -\sin \left( \frac{3\pi}{22} \right) +\sin \left( \frac{5\pi}{22} \right) -\sin \left( \frac{7\pi}{22} \right) +\sin \left( \frac{9\pi}{22} \right)=\\=\cos\left( \frac{\pi}{11}\right) -\cos\left( \frac{2\pi}{11}\right) +\cos\left( \frac{3\pi}{11}\right) -\cos\left( \frac{4\pi}{11}\right) +\cos\left( \frac{5\pi}{11}\right)}\),
a w przypadku tych z plusami zastosujemy jeszcze jedną tożsamość:
\(\displaystyle{ -\cos x=\cos(\pi-x)}\)
i nasze wyrażenie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ -\cos\left( \frac{2\pi}{11}\right)-\cos\left( \frac{4\pi}{11}\right) -\cos\left( \frac{6\pi}{11}\right)-\cos\left( \frac{8\pi}{11}\right)-\cos\left( \frac{10\pi}{11}\right)}\),
Dalej radź sobie sam. Wsk. \(\displaystyle{ \cos(2\pi -x)=\cos x}\)

Aha, muszę jednak skorygować Twój błąd, który przeoczyłem, pierwiastki zespolone stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\) są postaci
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{{\red 2}k\pi}{n}\right) +i\sin\left( \frac{{\red 2}k\pi}{n}\right)}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,\ldots n-1}\).

Zatem te sumy trochę inaczej wyglądają, bo biorą się z:
\(\displaystyle{ 1+e^{\frac{2}{11}\pi i}+e^{\frac{4}{11}\pi i}+\ldots+e^{\frac{20}{11}\pi i}=0}\)
ODPOWIEDZ