Oblicz (i=jednostka urojona)

[Killerek]

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-8i}}\)


dzięki za pomoc

[Unforg1ven]

Najprościej (przynajmniej rachunkowo), będzie skorzystać z tego wzoru:

\(\displaystyle{ x_{k}= \sqrt[n]{\left| z\right|}(\cos \frac {\phi +2k\pi}{n}+i\sin\frac {\phi +2k\pi}{n})}\) (1)
Liczysz prosto:
\(\displaystyle{ \left| z \right|=8}\) (z definicji modułu)
\(\displaystyle{ z=a+bi=-8i \Rightarrow a=0,b=1}\) zatem \(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{2}}}\) (z definicji postaci trygonometrycznej)
Dalej podstawiasz do wzoru dla k=0,1,2,3, i otrzymujesz rozwiązania.

[Killerek]

Dzięki. A można to zrobić bez postaci trygonometrycznej?

[Janusz Tracz]

Oczywiście nawet jeszcze wygodniej będzie.

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-8i}= \sqrt[4]{8}e^{ \frac{1}{4} \cdot \left( - \frac{ \pi }{2}i+2k \pi i \right) }}\)

dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\) dostajesz \(\displaystyle{ 4}\) różne pierwiastki. A korzystając z wzoru Eulera jesteś w stanie je przedstawić w innych postaciach.-- 5 lis 2018, o 22:39 --Można nawet wyznaczyć tylko jeden pierwiastek a potem tylko mnożyć przez \(\displaystyle{ i}\) jako że pierwiastki równo rozkładają się na kole więc wystarczy obracać się o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) by w nie trafiać (są cztery) jeśli mamy jeden to wystarcza trzy mnożenia i znamy wszystkie.

[Premislav]

No, tylko że jak ktoś nie chce postaci trygonometrycznej, to możliwe, że na wykładniczą też się skrzywi.
Da się i bez tego, ale uważam, że nie ma to wielkiego sensu, postać trygonometryczna i wykładnicza są wygodne i dają się zastosować do całego spektrum zadań, a nie tylko do odpowiednio dobranych przykładów.

Mamy równanie \(\displaystyle{ z^4=-8i}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ (1-i)^2=-2i}\), zatem możemy zapisać:
\(\displaystyle{ z^4=-8i \Leftrightarrow z^4+8i=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z^2)^2-\left(2(1-i) \right)^2 =0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z^2-2(1-i))(z^2+2(1-i))=0}\),
no i tak dalej, ale to trochę zgadywanki i nie widzę powodu, by unikać tego, o czym pisał Janusz Tracz.