Liczby zespolone

[max123321]

Liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1,z_2,z_3}\) spełniają równości \(\displaystyle{ z_1z_2z_3=1,z_1+z_2+z_3=z_1^{-1}+z_2^{-1}+z_3^{-1}.}\) Wykaż, że co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

Jak to ugryźć?

[Premislav]

Pomnożyć to drugie równanie stronami przez \(\displaystyle{ z_1 z_2 z_3=1}\) i zauważyć ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia, że te liczby są pierwiastkami wielomianu
\(\displaystyle{ z^3-az^2+az-1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in \CC}\), no a ten wielomian ma najwyżej trzy pierwiastki (dokładnie trzy licząc z krotnościami) i łatwo widać, że zeruje się dla \(\displaystyle{ z=1}\).

[max123321]

[ciach] genialne! W życiu bym na nie wpadł.

Ale jeszcze takie pytanie: Czy mamy zależności wiążące nam te liczby wzorami Viete'a wtedy i tylko wtedy gdy liczby te są pierwiastkami wielomianu trzeciego stopnia danej postaci ? Czy nie może się zdarzyć na przykład, że te liczby będą pierwiastkami jakiegoś wielomianu wyższego stopnia co by mogło zaburzyć wynik?

[Premislav]

Ale w jaki sposób miałoby zaburzyć to wynik?
Te liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, \ z_2, \ z_3}\) są pierwiastkami takiego wielomianu trzeciego stopnia:
\(\displaystyle{ (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)}\).
Po wymnożeniu (z którego te całe wzory Viete'a się właśnie biorą) masz, że \(\displaystyle{ -z_1 z_2 z_3}\) jest wyrazem wolnym, a w treści zadania mamy \(\displaystyle{ z_1 z_2 z_3=1}\), czyli wyraz wolny to \(\displaystyle{ -1}\).
Z tego wymnożenia równości \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=z_1^{-1}+z_2^{-1}+z_3^{-1}}\) przez \(\displaystyle{ 1=z_1 z_2 z_3}\) wynika, że \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=z_1 z_2+z_2z_3+z_3z_1}\), zaś z wymnożenia(jak nie ufasz wzorom) wynika, że nasz wielomian \(\displaystyle{ (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)}\) ma współczynnik przy \(\displaystyle{ z^2}\) równy \(\displaystyle{ -(z_1+z_2+z_3)}\) oraz współczynnik przy \(\displaystyle{ z}\) równy \(\displaystyle{ z_1 z_2+z_2z_3+z_3z_1}\), czyli skoro
\(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=z_1 z_2+z_2z_3+z_3z_1}\), to współczynnik przy \(\displaystyle{ z^2}\) w tym wielomianie jest liczbą przeciwną do współczynnika przy \(\displaystyle{ z}\). I tyle.