Wykaż, że dla dowolnych liczb zespolonych

[max123321]

Wykaż, że dla dowolnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ z,w}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ (|z|+|w|)| \frac{z}{|z|}+ \frac{w}{|w|}| \le 2|z+w|}\).

Jak to zrobić?

[Premislav]

Oczywiście dziedzina: wyrzucamy zera. Podstawmy \(\displaystyle{ z=r_1e^{is}, w=r_2e^{it}, r_1, r_2in RR^+, s,tin[0,2pi)}\).
Teza przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ \left( r_1+r_2\right)\left| e^{ist}+e^{it}\right| \le 2|r_1 e^{is}+r_2e^{it}|}\)
A przepisując to ze wzoru Eulera i podnosząc stronami do kwadratu (co jest przekształceniem równoważnym, gdyż \(\displaystyle{ r_1, \ r_2>0}\)) mamy
\(\displaystyle{ (r_1+r_2)^2\left( \left( \cos s+\cos t\right)^2+\left( \sin s+\sin t\right)^2 \right) \le 4\left( \left( r_1\cos s+r_2\cos t\right)^2+\left( r_1\sin s+r_2\sin t\right)^2 \right)}\)
Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ \cos^2 s+\sin^2 s=1, \ \cos^2 t+\sin^2 t=1}\), to nierówność upraszcza się do takiej:
\(\displaystyle{ 2(r_1-r_2)^2(\cos s\cos t+\sin s\sin t)\le 2(r_1-r_2)^2\\ 0\le (r_1-r_2)^2(1-\cos(s-t))}\)
Ostatnia nierówność jest już oczywista, co kończy dowód.

Zapewne można to udowodnić ładniej przez interpretację geometryczną, ale jak to powiedziała prof. Damek na ćwiczeniach z algebry liniowej, „ja nie jestem geometrą".

[max123321]

Hmm, coś mi się nie zgadza. Nie bardzo rozumiem jak z tej linijki:
\(\displaystyle{ (r_1+r_2)^2\left( \left( \cos s+\cos t\right)^2+\left( \sin s+\sin t\right)^2 \right) \le 4\left( \left( r_1\cos s+r_2\cos t\right)^2+\left( r_1\sin s+r_2\sin t\right)^2 \right)}\)
przeszedłeś do tej:
\(\displaystyle{ 2(r_1-r_2)^2(\cos s\cos t+\sin s\sin t)\le 2(r_1-r_2)^2}\)
Ja jak przekształciłem tą pierwszą to dostałem:
\(\displaystyle{ (r_1+r_2)^2\left( 2+2\sin s\sin t+2\cos s\cos t \right) \le 4\left( \left( r_1^2 +r_2^2+2r_1r_2\sin s\sin t+2r_1r_2\cos s\cos t \right)}\) i nie wiem jak to przekształcić do tego co napisałeś.

[Premislav]

Tu był duży skrót myślowy, po prostu trochę dowodziłem elementarnych nierówności i niektóre przekształcenia widzę w pamięci.
Twoje przekształcenia są poprawne, teraz można podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ (r_1+r_2)^2\left( 1+\sin s\sin t+\cos s\cos t \right) \le 2\left( \left( r_1^2 +r_2^2+2r_1r_2\sin s\sin t+2r_1r_2\cos s\cos t \right)}\)
Następnie po prawej wyciągnijmy \(\displaystyle{ 2r_1 r_2}\) oraz odnotujmy, że \(\displaystyle{ \cos s\cos t+\sin s\sin t=\cos(s-t)}\). To daje nam taką oto postać:
\(\displaystyle{ (r_1+r_2)^2(1+\cos(s-t))\le 2(r_1^2+r_2^2+2r_1r_2\cos(s-t))}\)
Następnie rozpiszmy trochę powyższe i przenieśmy wszystko na prawą stronę:
\(\displaystyle{ 0\le 2(r_1^2+r_2^2)-(r_1+r_2)^2-\cos(s-t)\left( (r_1+r_2)^2-4r_1r_2\right)}\)
Teraz zauważmy, że zachodzą tożsamości
\(\displaystyle{ (a+b)^2-4ab=(a-b)^2}\) oraz \(\displaystyle{ 2(a^2+b^2)-(a+b)^2=(a-b)^2}\)
(jak nie wierzysz, to skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia i zredukuj wyrazy podobne), zatem
otrzymujemy postać:
\(\displaystyle{ 0\le (r_1-r_2)^2-\cos(s-t)(r_1-r_2)^2}\)
Wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ (r_1-r_2)^2}\) i koniec. To rozwiązanie ma tę zaletę, że nie korzysta z niczego nadzwyczajnego (nie wymaga prawie żadnej wiedzy poza podstawami liczb zespolonych, jak postać wykładnicza/trygonometryczna) i z końcowej postaci bardzo dobrze widać, kiedy zachodzi równość w nierówności, natomiast tę wadę, że jest trochę dużo przekształceń.

Jak mówiłem, to zadanie powinno być do rozwiązania z użyciem jakiejś interpretacji geometrycznej, ale ja już tak mam, że „nie widzę" geometrii.