Oblicz granicę

[max123321]

Liczba \(\displaystyle{ t}\) jest rzeczywista. Znajdź granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+\cos t+\cos 2t+...+\cos nt+i(\sin t+\sin 2t+...+\sin nt)}{n}}\)

Jak się za to zabrać? Jakaś wskazówka?

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 1+e^{it}+e^{2it}+\ldots+e^{int}= ?}\)
Wzór Eulera.

[max123321]

Traktować to wyrażenie jak zwykły ciąg geometryczny? W sensie:
\(\displaystyle{ 1+e^{it}+e^{2it}+\ldots+e^{int}= \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{(1-e^{it})}}\)
??
No, ale nawet jeśli to co zrobić z tym:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{n(1-e^{it})}}\)
??

[Janusz Tracz]

Traktować to wyrażenie jak zwykły ciąg geometryczny? W sensie:
\(\displaystyle{ 1+e^{it}+e^{2it}+\ldots+e^{int}= \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{n(1-e^{it})}}\)

Tak traktuj to jak ciąg geometryczny. Tylko źle policzyłeś sumę bo tam nie ma dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) ale domyślam się że po prosty już wyprzedziłeś fakty i stąd literówka. Z powstałą granicą możesz robić wszystko co Ci się podoba na przykład szacować moduł, wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną albo wrócić z tym do treści zadania i pokazać że sumy z licznika są ograniczone dla każdego \(\displaystyle{ n}\). Pełna dowolność dlatego nie wiem co ciekawego Premislav miał na myśli. Nie będę się więc narzucał jakąś konkretną metodą, Premislav ma plan nie będę robił zamieszania.

[max123321]

Tak masz rację wyprzedziłem fakty. Już poprawiłem tą literówkę.

A z czego wynika to, że możemy to traktować jak ciąg geometryczny? Bo wiem, że nie zawsze metody analizy rzeczywistej przenoszą się na metody analizy zespolonej.

[Premislav]

A z czego wynika to, że możemy to traktować jak ciąg geometryczny? Bo wiem, że nie zawsze metody analizy rzeczywistej przenoszą się na metody analizy zespolonej.

to jest całkiem dobre pytanie, dzięki za nie, nigdy się nad tym nie zastanawiałem, tylko pewne wzory stosowałem automatycznie. Można to pewnie jakoś ładnie uzasadnić, korzystając z argumentów algebraicznych czy interpretacji geometrycznej, natomiast nie mam ochoty tego pisać, ani przekonania, że coś wyjaśnię zamiast bardziej zamieszać, więc zaproponuję inną drogę:
dla \(\displaystyle{ t\neq 2k\pi}\) mamy
\(\displaystyle{ \cos t+\cos 2t+\ldots+\cos nt=\\= \frac{1}{2\sin \frac t 2}\left( 2\sin \frac t 2 \cos t+2\sin \frac t 2\cos 2t+\ldots+2\sin \frac t 2 \cos nt\right) =\\=\frac{1}{2\sin\frac t 2}\left(\sin\left( t+\frac t 2\right)-\sin\left( t-\frac t 2\right)+\sin\left(2t+ \frac t 2\right)-\sin\left( 2t-\frac t 2\right)+\ldots+\sin\left( nt+\frac t 2\right) -\sin\left( nt-\frac t 2\right) \right)=\\=\frac{\sin\left( \frac{2n+1}{2}t\right)-\sin\left( \frac t 2\right) }{2\sin \frac t 2}}\)
Podobną rzecz zrób dla tej sumy z sinusami, tylko skorzystaj z tożsamości
\(\displaystyle{ 2\sin x\sin y=\cos\left( x-y\right)-\cos\left( x+y\right)}\).
Powinieneś dojść do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \sin t+\sin 2t+\ldots+\sin nt=\frac{\cos\left( \frac t 2\right)-\cos\left( \frac{n+1}{2}t\right) }{2\sin \frac t 2}}\)

Po uzyskaniu tych postaci zwartych już bardzo łatwo przeprowadzić obliczenia.

Pozostaje rozważyć jeszcze przypadek \(\displaystyle{ t=2k\pi, \ k\in \ZZ}\) (granica równa \(\displaystyle{ 1}\)).

Tamten wzór, który zasugerowałem, a Ty napisałeś, też zresztą nie działa dla \(\displaystyle{ t=0}\) i wielu innych. Wszak zdarza się, że \(\displaystyle{ e^{it}=1}\).

[Janusz Tracz]

A z czego wynika to, że możemy to traktować jak ciąg geometryczny? Bo wiem, że nie zawsze metody analizy rzeczywistej przenoszą się na metody analizy zespolonej.

to jest całkiem dobre pytanie, dzięki za nie, nigdy się nad tym nie zastanawiałem, tylko pewne wzory stosowałem automatycznie. Można to pewnie jakoś ładnie uzasadnić, korzystając z argumentów algebraicznych czy interpretacji geometrycznej, natomiast nie mam ochoty tego pisać, ani przekonania, że coś wyjaśnię zamiast bardziej zamieszać.

Specjalnie na Ciebie poczekałem Premislav myślałem że będziesz chciał odpowiedzieć na to faktycznie dobre pytanie. Mi się wydaje że odpowiedź jest prostsza niż się wydaje. Ustalmy \(\displaystyle{ z\in\CC \setminus \left\{ 1\right\}}\) oraz niech:

\(\displaystyle{ 1+z+z^2+...+z^n=S}\)

\(\displaystyle{ 1+z\left( 1+z+...+z^{n-1}+z^n-z^n\right)=S}\)

\(\displaystyle{ 1+z\left( S-z^n\right)=S}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{1-z^{n+1}}{1-z}}\)

Dla purystów kropki można zamienić sumami. Nie wydaje mi się bym wykorzystał coś co nie jest oczywiste w liczbach zespolonych stąd sądzę że to jest niezły argument że ten wzorek się tak po prostu przenosi z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ \CC}\)