Opisz dziedzinę i zbiór wartości funkcji

[max123321]

Opisz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(z)= \frac{z+\overline{z}}{z-\overline{z}}}\).

Dziedzinę wyznaczam następująco:
\(\displaystyle{ f(x+iy)=-i(x/y)}\) zatem \(\displaystyle{ D=\left\{ x+iy\in\CC:y \neq 0\right\}}\).

Dobrze?

A jak wyznaczyć zbiór wartości? Jeśli oznaczę \(\displaystyle{ f(x+iy)=-i(x/y)=w}\) to wydaje mi się, że zbiorem wartości będzie oś urojona płaszczyzny zespolonej, czyli zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x+iy\in\CC:x=0\right\}}\), ale jak to się powinno fachowo robić?

[Jan Kraszewski]

Dziedzinę wyznaczam następująco:
\(\displaystyle{ f(x+iy)=-i(x/y)}\) zatem \(\displaystyle{ D=\left\{ x+iy\in\CC:y \neq 0\right\}}\).

Dobrze?

Dobrze. Choć ja bym pewnie napisał \(\displaystyle{ D=\{z\in \CC:\Im z\ne 0\}}\).

A jak wyznaczyć zbiór wartości? Jeśli oznaczę \(\displaystyle{ f(x+iy)=-i(x/y)=w}\) to wydaje mi się, że zbiorem wartości będzie oś urojona płaszczyzny zespolonej, czyli zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x+iy\in\CC:x=0\right\}}\), ale jak to się powinno fachowo robić?

Dobrze Ci się wydaje. To, że zbiór wartości jest podzbiorem osi urojonej wynika ze wzoru \(\displaystyle{ f(x+iy)=-i(x/y)}\), wystarczy zatem pokazać, że każdy punkt na osi urojonej jest przyjmowany jako wartość, co nie jest trudne.

JK

[max123321]

Czyli to, że zbiór wartości jest podzbiorem osi urojonej wynika z tego, że wartość funkcji dla dowolnego argumentu wynosi \(\displaystyle{ ia}\) dla \(\displaystyle{ a\in\RR}\) czyli z tej postaci odczytujemy, że będzie to liczba czysto urojona tak?

No dobra, a teraz to drugie. Niech \(\displaystyle{ b}\) należy od osi urojonej. Wówczas \(\displaystyle{ b=f(x+iy)=-i(x/y)}\) jest równoznaczne z tym, że \(\displaystyle{ x/y=-b/i}\), jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ y=1}\) to otrzymamy, że \(\displaystyle{ x=-b/i}\), ale \(\displaystyle{ b}\) jest urojone zatem \(\displaystyle{ -b/i}\) jest rzeczywiste, a wiadomo, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) rzeczywiste równe \(\displaystyle{ -b/i}\). Zatem liczbę \(\displaystyle{ b}\) dostajemy dla \(\displaystyle{ x=-b/i,y=1}\). Skoro \(\displaystyle{ b}\) było dowolne to znaczy, że zbiór wartości to cała oś urojona. Zgadza się?

[Jan Kraszewski]

Czyli to, że zbiór wartości jest podzbiorem osi urojonej wynika z tego, że wartość funkcji dla dowolnego argumentu wynosi \(\displaystyle{ ia}\) dla \(\displaystyle{ a\in\RR}\) czyli z tej postaci odczytujemy, że będzie to liczba czysto urojona tak?

Tak.

No dobra, a teraz to drugie. Niech \(\displaystyle{ b}\) należy od osi urojonej. Wówczas \(\displaystyle{ b=f(x+iy)=-i(x/y)}\) jest równoznaczne z tym, że \(\displaystyle{ x/y=-b/i}\), jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ y=1}\) to otrzymamy, że \(\displaystyle{ x=-b/i}\), ale \(\displaystyle{ b}\) jest urojone zatem \(\displaystyle{ -b/i}\) jest rzeczywiste, a wiadomo, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) rzeczywiste równe \(\displaystyle{ -b/i}\). Zatem liczbę \(\displaystyle{ b}\) dostajemy dla \(\displaystyle{ x=-b/i,y=1}\). Skoro \(\displaystyle{ b}\) było dowolne to znaczy, że zbiór wartości to cała oś urojona. Zgadza się?

Tak, choć wydaje mi się, że prościej byłoby ustalić dowolne \(\displaystyle{ ai}\) należące do osi urojonej, \(\displaystyle{ a\in\RR}\). Wtedy od razu widać, że \(\displaystyle{ f(a-i)=ai}\).

JK