Znaleźć część rzeczywistą oraz urojoną liczby zespolonej

[kubical122]

a) \(\displaystyle{ z = \left( 1 + \cos \frac{ \pi }{8} + i \cdot \sin \frac{ \pi }{8} \right) ^{2000}}\)
b) \(\displaystyle{ z = \left( \frac{1+i}{1 - i \sqrt{3} } \right) ^{40}}\)
c) \(\displaystyle{ z = \left( \frac{1-i}{\cos \frac{ \pi }{7} + i \cdot \sin \frac{ \pi }{7} } \right) ^{35}}\)

Należy znaleźć część rzeczywistą oraz urojoną liczby zespolonej, pomoże ktoś?

[janusz47]

a) wzór de Moivre' a

b) zamiana licznika i mianownika na postać trygonometryczną i wzór de Moivre' a.

c) licznik -nzamiana na postać trygonometryczną -wzór de Moivre'a, mianownik wzór de Moivre' a.

[kubical122]

Co zrobić z 1 w przykładzie a) aby móc użyć wzoru de Moivre'a?

[janusz47]

a
Musimy przypomnieć tożsamości trygonometryczne na \(\displaystyle{ \sin(2x)}\) i \(\displaystyle{ \cos(2x):}\)

\(\displaystyle{ \left[ 1 +\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)+ i \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \right]^{2000}=
\left[ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{16}\right) + i \cdot 2\sin\left (\frac{\pi}{16}\right)\cos\left(\frac{\pi}{16}\right)\right]^{2000}= \\ = \left[ 2\cos\left(\frac{\pi}{16}\right)\right]^{2000}\cdot \left[\cos(\left(\frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{16}\right)\right]^{2000}}\)

[kubical122]

Pomoże ktoś z przykładem b)? Jeżeli wszystko dobrze do tego momentu policzyłem to mam postać
\(\displaystyle{ 2 ^{-20} \left( - \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\)

Jak z tego wyciągnąć część rzeczywistą/urojoną?

[Jan Kraszewski]

Wymnożyć...

JK