Zaznacz rozwiązanie na płaszczyźnie Gaussa

[kubical122]

\(\displaystyle{ arg(i \cdot z^{4}) = \pi \vee \left| z \right| > 1}\)

Rozpisałem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ arg(i) + arg(z^{4}) = \pi \\
\frac{ \pi }{2} + 4 arg(z) = \pi \\
arg(z) = \frac{ \pi }{8}}\)
oraz
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} > 1}\)

AU

UmoTPnG.png (9.74 KiB) Przejrzano 270 razy

Pogrubiona zielona linia to rozwiązanie, czy zrobiłem to poprawnie?

[janusz47]

Koło i ten zielony promień w kole narysuj linią przerywaną.

[kubical122]

Racja, przeoczyłem to, poza tym wszystko jest w porządku?

[janusz47]

Tak.

[Lider_M]

Nie jest dobrze.

Zauważ, że np. liczby, których argumentem jest \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{8}}\) też są "w porządku".

[janusz47]

Trzeba uzupełnić rysunek o dodatkowy kąt (jak zauważył Lider_M )

bo

\(\displaystyle{ \arg z^{4} = 4\arg(z) + 2k\pi, \ \ k\in \ZZ.}\)

[kubical122]

Rozszerzyć należy tylko o kąt \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{8}}\)?
Jeśli tak to dlaczego nie rozszerzamy o kolejne kąty dla kolejnych wartości k?
Oraz w jakich przypadkach należy dodawać \(\displaystyle{ 2k \pi}\) do argumentu?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + 4\arg(z) = 2k\pi+\pi, \ \ k\in \ZZ}\)

\(\displaystyle{ 4\arg(z) = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{2}\ \ k\in \ZZ}\)

\(\displaystyle{ 4\arg(z) = \frac{\pi}{2}( 4k +2-1)= \frac{\pi}{2}(4k+1), \ \ k\in \ZZ}\)

\(\displaystyle{ \arg(z) = \frac{\pi}{8}(4k+1), \ \ k\in\ZZ.}\)

Z definicji argumentu głównego liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ 0 \leq \frac{\pi}{8}(4k+1)< 2\pi}\)

\(\displaystyle{ k = 0, \ \ \arg(z_{0})= \frac{\pi}{8}}\) - kąt który zaznaczyłeś.

\(\displaystyle{ k= 1, \ \ \arg(z_{1}) = \frac{5}{8}\pi}\) - kąt, który trzeba zaznaczyć, obracając lewę ramię kąta liczby \(\displaystyle{ z_{0}}\) o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

\(\displaystyle{ k = 2, \ \ \arg(z_{2}) = \frac{9}{8}\pi}\) - kąt, który trzeba zaznaczyć, obracając lewę ramię kąta liczby \(\displaystyle{ z_{1}}\) o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

\(\displaystyle{ k=3, \ \ \arg(z_{3}) = \frac{13}{8}\pi}\) - kąt, który trzeba zaznaczyć, obracając lewę ramię kąta liczby \(\displaystyle{ z_{2}}\) o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Uwaga

Miary kątów \(\displaystyle{ \frac{5}{8}\pi, \ \ \frac{9}{8}\pi, \ \ \frac{13}{8}\pi}\) zaznaczamy tak samo ja miarę kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\) - w środku koła liniami przerywanymi.

[kubical122]

Bardzo dziękuje wszystko jest już jasne

[jogobella12]

Ale skoro w poleceniu proszą o sumę obu warunków, to czy do zbioru rozwiązań nie należy też zielona linia znajdująca się we wnętrzu okręgu?

[janusz47]

Nie należy, bo nie spełnia warunku \(\displaystyle{ z >1.}\)

[jogobella12]

Masz na myśli \(\displaystyle{ \left| z\right|>1}\)?

Nie musi go spełniać, ponieważ w poleceniu jest suma dwóch warunków
\(\displaystyle{ arg(i \cdot z^{4}) = \pi \vee \left| z \right| > 1}\)
a nie iloczyn, a zielona linia spełnia warunek pierwszy.

Czy rozumiem coś w błędny sposób?

[janusz47]

Zazwyczaj między równaniami powinien występować spójnik \(\displaystyle{ \wedge (i)}\) lub klamerka. Jeśli występuje rzeczywiście spójnik lub \(\displaystyle{ \vee ,}\) to graficznym obrazem jest wtedy okrąg bez brzegu i ciągłe (również w środku koła) lewe ramienia kąta.