1. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór punktów spełniający warunek:
\(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2} \le Argz < \frac{7 \pi }{4} \wedge |z+2| \ge 2 \wedge \partial z > -3}\)
2. Rozwiązać w liczbach zespolonych równanie:
\(\displaystyle{ iz^{2} + (i - 3)z + 1 - 8i = 0.}\)
3. Obliczyć i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2-2i}}\)
4. Rozwiązać i podać wynik w postaci algebraicznej:
\(\displaystyle{ \frac{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4}+\frac{1}{4}i)^{29} } { ( \frac{ \sqrt{2} }{8}+ \frac{ \sqrt{2} }{8}i)^{14}}}\)
Jakieś pomysły jak się do tego zabrać?
Zadania z liczb zespolonych
-
careworn
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 31 paź 2018, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Re: Zadania z liczb zespolonych
Niekoniecznie generalnie na tym forum można prosić o pomoc z rzeczami które sprawiają nam trudność, więc jaki sens jest w tego typu odpowiedziach? Jeśli ktoś nie ma życzenia mi pomóc to proszę ignorować mój tematjanusz47 pisze:Jakie pomysły, jak się za to zabierasz?
Przecież chyba studiujesz?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zadania z liczb zespolonych
2. Po prostu oblicz wyróżnik („deltę"). Pamiętaj tylko, że znak wyróżnika (jeśli w ogóle wyjdzie rzeczywisty) Cię wcale nie interesuje.
3. Może pomóc spostrzeżenie, że \(\displaystyle{ 2-2i=(-i-1)^3}\), ale stąd do rozwiązania jeszcze trochę jest, bo dla ustalonej liczby zespolonej w rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^n=w^n}\) są postaci
\(\displaystyle{ w\cdot \eta_k, \ k\in\left\{ 1,2,\ldots n\right\}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \eta_k}\) to pierwiastki n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), które dość elegancko zapisuje się w postaci trygonometrycznej, jak i wykładniczej. Tutaj więc rozwiązania są iloczynami \(\displaystyle{ -i-1}\) oraz pierwiastków trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), które to są postaci \(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}, \ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\).
A jak nie poczynisz tego spostrzeżenia z \(\displaystyle{ -i-1}\), to można zamienić \(\displaystyle{ 2-2i}\) na postać trygonometryczną bądź wykładniczą (poczytaj sobie o tym) i też jest fajnie.
4. Możesz skorzystać z postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac 1 4 i=\frac 1 2 e^{\frac{\pi}{6}i}\\\frac{\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{8}i=\frac 1 4e^{\frac \pi 4 i}\\\frac{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4}+\frac{1}{4}i)^{29} } { ( \frac{ \sqrt{2} }{8}+ \frac{ \sqrt{2} }{8}i)^{14}}=\ldots}\)
3. Może pomóc spostrzeżenie, że \(\displaystyle{ 2-2i=(-i-1)^3}\), ale stąd do rozwiązania jeszcze trochę jest, bo dla ustalonej liczby zespolonej w rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^n=w^n}\) są postaci
\(\displaystyle{ w\cdot \eta_k, \ k\in\left\{ 1,2,\ldots n\right\}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \eta_k}\) to pierwiastki n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), które dość elegancko zapisuje się w postaci trygonometrycznej, jak i wykładniczej. Tutaj więc rozwiązania są iloczynami \(\displaystyle{ -i-1}\) oraz pierwiastków trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), które to są postaci \(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}, \ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\).
A jak nie poczynisz tego spostrzeżenia z \(\displaystyle{ -i-1}\), to można zamienić \(\displaystyle{ 2-2i}\) na postać trygonometryczną bądź wykładniczą (poczytaj sobie o tym) i też jest fajnie.
4. Możesz skorzystać z postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac 1 4 i=\frac 1 2 e^{\frac{\pi}{6}i}\\\frac{\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{8}i=\frac 1 4e^{\frac \pi 4 i}\\\frac{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4}+\frac{1}{4}i)^{29} } { ( \frac{ \sqrt{2} }{8}+ \frac{ \sqrt{2} }{8}i)^{14}}=\ldots}\)