Znależć liczby rzeczywiste x,y spełniające podane równania

[nadro0404]

Jaka jest metodyka rozwiązywania tego przykładu?
\(\displaystyle{ \frac{x+yi}{x-yi} = \frac{9-2i}{9+2i}}\)

Na początku wymnożyłem przez sprzężenie te dwa ułamki i porównałem części rzeczywiste oraz urojone.
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymałem coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{2} -y }{ x^{2} +y} = \frac{77}{85}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2x+y}{ x^{2} +y} = \frac{-18}{85}}\)

Po rozwiązaniu powyższego układu równań x=0 i x=2.25 co nie zgadza się z odpowiedziami więc już nie liczyłem dla y.

[Janusz Tracz]

Na początku wymnożyłem przez sprzężenie

To nie jest konieczne, lepiej będzie napisać że:

\(\displaystyle{ \frac{x+yi}{x-yi} = \frac{9-2i}{9+2i} \ \Rightarrow \ x+yi= \frac{9-2i}{9+2i}\left( x-yi\right)}\)

Jeśli teraz zamienisz \(\displaystyle{ \frac{9-2i}{9+2i}}\) na liczbę postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) a następnie wymnożysz to przyrównywanie części rzeczywistej i urojonej da układ dwóch równań liniowych. Będzie to dużo prostsze.

Po rozwiązaniu powyższego układu równań x=0 i x=2.25

To faktycznie źle z logicznego punku widzenia oraz rachunków dlatego proponuję inną metodę.

[nadro0404]

Jeśli teraz zamienisz \(\displaystyle{ \frac{9-2i}{9+2i}}\) na liczbę postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) a następnie wymnożysz to przyrównywanie części rzeczywistej i urojonej da układ dwóch równań liniowych. Będzie to dużo prostsze.

Nie bardzo rozmiem, mógłbyś to rozpisać?

[Janusz Tracz]

W sumie to rozwiązanie można zgadnąć. Widać że jest to prawda dla \(\displaystyle{ x=9t}\) oraz \(\displaystyle{ y=-2t}\) dla \(\displaystyle{ t\in\RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) nie trzeba wykonywać żadnych rachunków.

[nadro0404]

W sumie to rozwiązanie można zgadnąć. Widać że jest to prawda dla \(\displaystyle{ x=9t}\) oraz \(\displaystyle{ y=-2t}\) dla \(\displaystyle{ t\in\RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) nie trzeba wykonywać żadnych rachunków.

w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{-2}{9x}}\)

[Janusz Tracz]

No i bardzo dobrze, bo to jest to samo co napisałem.