Wykaż nierówność

[max123321]

Wykaż, że \(\displaystyle{ |z-a| \le ||z|-|a||+|z||\arg(z/a)|}\) dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ z,a \in \CC,a \neq 0}\) i dla dowolnej wartości argumentu \(\displaystyle{ z/a}\).

Może ktoś przedstawić tu dowód geometryczny?

[Janusz Tracz]

Było już coś podobnego. Tu

[max123321]

A mógłbyś wyjaśnić dlaczego jest taka, a nie inna interpretacja tych elementów? Jak sobie narysowałem dwa dowolne punkty na płaszczyźnie zespolonej \(\displaystyle{ z,a}\) moduł ich różnicy można interpretować z tego, że jakby to \(\displaystyle{ z}\) przesuwamy przez translację o wektor \(\displaystyle{ -a}\) i mierzymy odległość tego przesuniętego punktu od zera i chyba odcinek między \(\displaystyle{ z-a}\), a zerem jest taki sam jak odcinek łączący po prostu \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\). Tak na to należy patrzeć? Natomiast moduł różnicy modułów no to faktycznie będzie różnica promieni okręgów wyznaczonych przez te liczby, to raczej ogarniam. Natomiast ten ostatni składnik prawej strony nierówności to nie bardzo rozumiem. To jest jakby długość \(\displaystyle{ z}\) przemnożona przez kąt. Jaki? Zakładam, że jest to różnica między kątami wyznaczonymi przez te liczby. No, ale to wtedy mamy długość razy kąt czyli chyba pole tego wycinka? Chociaż może i nie w sumie nie wiem.

[Janusz Tracz]

dwa dowolne punkty na płaszczyźnie zespolonej \(\displaystyle{ z,a}\) moduł ich różnicy można interpretować z tego, że jakby to z przesuwamy przez translację o wektor \(\displaystyle{ -a}\) i mierzymy odległość tego przesuniętego punktu od zera i chyba odcinek między \(\displaystyle{ z-a}\), a zerem jest taki sam jak odcinek łączący po prostu \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\).

To jest dokładnie długość odcinka łączącego \(\displaystyle{ z}\) z \(\displaystyle{ a}\) więc Twoja interpretacja jest ok. To się nawet z metryki Euklidesowej bierze

\(\displaystyle{ \left| z-a\right|= \sqrt{\left(x-a_x \right)^2+\left( y-a_y\right) }}\)

Natomiast moduł różnicy modułów no to faktycznie będzie różnica promieni okręgów wyznaczonych przez te liczby, to raczej ogarniam.

Tak jest to jest, to tak jakby grubość pierścienia stworzonego z tych okręgów.

To jest jakby długość z przemnożona przez kąt. Jaki? Zakładam, że jest to różnica między kątami wyznaczonymi przez te liczby. No, ale to wtedy mamy długość razy kąt czyli chyba pole tego wycinka?

Tak to jest długość (powiedzmy że ta długość to \(\displaystyle{ |z|}\) ale jeszcze do tego wrócę w momencie \(\displaystyle{ \maltese}\) ) pomnożona przez kąt. Kąt ten to \(\displaystyle{ \arg\left( \frac{z}{a} \right)}\) co odpowiada \(\displaystyle{ \arg\left( z\right)-\arg\left( a\right)}\) (w liczbach zespolonych) czyli kątowi pomiędzy tymi liczbami patrząc na nie z początku układu. Długość razy kąt (w radianach) to długość łuku a nie pole, można to wyprowadzić na jednostkach bo kąt jest bezwymiarowy. Ale warto też pamiętać że obwód koła to \(\displaystyle{ {\red{2 \pi }}r}\) a odwód wycinka koła zadanego przez kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) to \(\displaystyle{ {\red{ \alpha }}r}\). Stąd się bierze interpretacja członu \(\displaystyle{ |z||\arg(z/a)|}\)


\(\displaystyle{ \maltese}\) Można bez straty ogólności założyć że \(\displaystyle{ \left| z\right|=\min\left\{ \left| z\right|,\left| a\right| \right\}}\) bo jest to bardziej pesymistyczny przypadek. Jeśli zajdzie taki że \(\displaystyle{ \left| z\right|<\left| a\right|}\) to na pewno zajdzie przeciwny \(\displaystyle{ |z| \ge |a|}\) jako że

\(\displaystyle{ |z-a| \le ||z|-|a||+|z||\arg(z/a)| \le ||z|-|a||+|a||\arg(z/a)|}\)

Więc pozostańmy przy założeniu że \(\displaystyle{ \left| z\right|=\min\left\{ \left| z\right|,\left| a\right| \right\}}\) by się potem nie tłumaczyć dodatkowo.

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}

\draw[thick,->] (-0.6,0) -- (6,0) node[right] {Re z};
\draw[thick,->] (0,-0.6) -- (0,6) node[below left] {Im z};
\fill (1,1.5) circle (2pt) node[left] {z};
\fill (4,2.5) circle (2pt) node[left] {a};
\draw (0,0) circle (1.8027);
\draw (0,0) circle (4.7169);
\fill (1.53,0.96) circle (1pt) node[left] {P};
\draw[densely dashed] (0,0)--(4,2.5) node[above, sloped, pos=0.8] ;
\draw[densely dashed] (0,0)--(1,1.5) node[above, sloped, pos=0.8] ;
\draw[red] (1,1.5)--(4,2.5);
\draw[blue] (4,2.5)--(1.53,0.96);
\draw[green] (1,1.5)--(1.53,0.96);
\fill (0,0) circle (2pt) node[left] {O};
\end{tikzpicture}}\)

Teraz widać o co chodzi. Z nierówności trójkąta do \(\displaystyle{ \Delta zPa}\) mamy że:

\(\displaystyle{ {\red{\left| za\right|}} \le {\blue{\left| Pa\right| }}+{\green{\left| Pz\right| }}}\)

Ale jako że łuk \(\displaystyle{ Pz}\) jest dłuższy od najkrótszej drogi pomiędzy czyli \(\displaystyle{ {\green{\left| Pz\right| }}}\) to

\(\displaystyle{ {\red{\left| za\right|}} \le {\blue{\left| Pa\right| }}+\text{łuk}\left( Pz\right)}\)

A to jest teza zapisana w interpretacji geometrycznej.

[max123321]

No tak rozumiem teraz. Dzięki.

Tylko nie wiem za bardzo skąd ten ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ |z-a| \le ||z|-|a||+|z||\arg(z/a)| \le |z-a| \le ||z|-|a||+|a||\arg(z/a)|}\)
Tam na pewno wszędzie powinny być nierówności? Bo to tak jakby \(\displaystyle{ |z-a| \le x \le |z-a|}\).
Czy musimy w ogóle rozdzielać to na dwa przypadki?

[Janusz Tracz]

Ah faktycznie zrobiłem kopiuj wklej. Powinno być

\(\displaystyle{ |z-a| \le ||z|-|a||+|z||\arg(z/a)| \le ||z|-|a||+|a||\arg(z/a)|}\)

Przy założeniu że \(\displaystyle{ \left| z\right|=\min\left\{ \left| z\right|,\left| a\right| \right\}}\). Dzięki za czujność.-- 4 lis 2018, o 19:17 --

Czy musimy w ogóle rozdzielać to na dwa przypadki?

Nie nie musimy tylko chciałem Ci pokazać że założenie \(\displaystyle{ \left| z\right|=\min\left\{ \left| z\right|,\left| a\right| \right\}}\) jest tu wygodne i uzasadnione.