Obliczyć używajac wzoru Moivre

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kucharskov1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 paź 2018, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Obliczyć używajac wzoru Moivre

Post autor: kucharskov1 »

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} + i \right) ^{14}}\)
Próbowałem rozwiązać sam - wyszło mi \(\displaystyle{ 2^{14} \cdot \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}i \right)}\)
Czy to poprawny wynik?
Ostatnio zmieniony 23 paź 2018, o 17:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Obliczyć używajac wzoru Moivre

Post autor: janusz47 »

To nie jest poprawny wynik.
kucharskov1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 paź 2018, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Obliczyć używajac wzoru Moivre

Post autor: kucharskov1 »

\(\displaystyle{ 2^{14} \cdot \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\) ?
Ostatnio zmieniony 23 paź 2018, o 17:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Obliczyć używajac wzoru Moivre

Post autor: janusz47 »

Wzór de Moivre'a

\(\displaystyle{ [r(\cos(\phi) + i\sin(\phi))]^{n} = r^{n}[\cos(n\phi), +i\sin(n\phi)].}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{3} +i)^{14}}\):

\(\displaystyle{ r= \sqrt{\sqrt{3}^2 +1^2} = \sqrt{4} = 2.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos(\phi) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin(\phhi} = \frac{1}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{6}.}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{3} +i)^{14} = 2^{14}\left[ \cos\left(14\cdot \frac{\pi}{6}\right)+i \sin\left(14\cdot \frac{\pi}{6}\right) \right] = 2^{14}\left[ \cos\left(7\cdot \frac{\pi}{3}\right)+i \sin\left(7\cdot \frac{\pi}{3}\right)\right]= 2^{14}\left[\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right)+i \sin\left(2\pi +\frac{\pi}{3}\right)\right] = 2^{14}[ \cos\left( \frac{1}{3}\pi\right) + i\sin\left(\frac{1}{3}\pi\right)\right] = 2^{14}\left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).}\)

-
ODPOWIEDZ