Rysunek w zbiorze liczb zespolonych

[XYZmat]

Witam, skąd na pierwszy rzut oka, bez żadnych obliczeń wiedzieć, że \(\displaystyle{ \left| z+3-i\right|+\left| z+3+i\right| \le 2}\) jest odcinkiem od \(\displaystyle{ (-3,1)}\) do \(\displaystyle{ (-3,-1)}\)?

[Janusz Tracz]

Z nierówności trójkąta i zdegenerowanej elipsy do odcinka. Innymi słowy suma odległości od punktów \(\displaystyle{ -3+i}\) oraz \(\displaystyle{ -3-i}\) ma być nie większa od \(\displaystyle{ 2}\). Jest to wnętrze elipsy o tych ogniskach ale łatwo zauważyć że już odległość ognisk wynoś \(\displaystyle{ 2}\) więc elipsa spłaszczy się do odcinka. To przypomina mi trochę trójkąt którego dwa boki zaczynają się kłaść na pozostały.

[janusz47]

Jak interpretacja graficzna sumy modułów:

\(\displaystyle{ |z -(-3+i)|+ |z- (-3 -i)|\leq 2.}\)


\(\displaystyle{ |(x-3)+i(y-1)| + |(x+3) +i(y+1) \leq 2.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{[x- (-3)]^2 +(y-1)^2} + \sqrt{[x- (-3)]^2 + [y-(-1)]^2} \leq 2?}\)

Zbiór punktów płaszczyzny zawartej w odcinku o końcach: \(\displaystyle{ (-3,1), (-3 -1).}\)