Pierwiastniki i pierwiastniki z jedynki

[VirtualUser]

Wyznaczyć dwoma sposobami pierwiastki stopnia 5 z jedynki, a następnie wyrazić je przez pierwiastnik \(\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{5}}\)

Jeden sposób no to będzie standardowy wzór przy użyciu postaci trygonometrycznej, jednak o jaki drugi sposób chodzi autorowi zadania? I jak ugryźć te pierwiastniki

[Janusz Tracz]

Może za pomocą postaci wykładniczej. Skoro \(\displaystyle{ 1=e^{2k \pi i}}\) to \(\displaystyle{ \sqrt[5]{1}=e^{ \frac{2k\pi i}{5} }}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\). To można interpretować czysto geometrycznie. A sposób tradycyjny trygonometryczny jest związany z tym zależnością Eulera \(\displaystyle{ e^{i \alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha}\) dlatego te metody są równoważne choć czymś się jednak różnią, teraz pytanie do autora czy taka różnica mu wystarcza.

Można by też było próbować rozwiązać \(\displaystyle{ z^5-1=0}\) co jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ (z-1)\left( z^4+z^3+z^2+z+1\right)=0}\) (to wynika z wzory na sumę ciągu geoenergetycznego) widać od razu że \(\displaystyle{ z=1}\) teraz trzeba rozbić \(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1}\) na iloczyn trójmianów kwadratowych. "Da się zgadnąć" albo chociaż nabyć intuicję po rozpisaniu tego

\(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1=\left( z^2+az+b\right)\left( z^2+cz+d\right)}\)

że
\(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1=\left( z^2+ \frac{1- \sqrt{5} }{2} z+1\right)\left( z^2+ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} z+1\right)}\)

Więc teraz pozostałe \(\displaystyle{ 4}\) są ukryte w tych funkcjach kwadratowych z którymi już łatwo można sobie poradzić.

Edit: Nie wiem czemu ale 2 razy wkleił się cały post.

[Premislav]

Pytania „co autor miał na myśli?" (jakkolwiek z natury raczej bezsensowne) raczej występują na lekcjach języka polskiego, a nie w matematyce.
Można tu też użyć (bardzo wygodnej) postaci wykładniczej, ale jak dla mnie to jest praktycznie to samo (można w zasadzie powiedzieć, że wzór Eulera wiąże te dwie postaci).

Ewentualnie jak ktoś jest hardkorem:
\(\displaystyle{ z^5=1 \Leftrightarrow (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0}\)
a teraz równanie
\(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1=0}\) można rozwiązać, zauważając, że \(\displaystyle{ z=0}\) go nie spełnia, a następnie dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ z^2}\) i podstawiając \(\displaystyle{ t=z+\frac 1 z}\), co daje takie równanie zmiennej \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ t^2+t-1=0}\)
i potem to na dwie maturalne kwadratówki (\(\displaystyle{ z+\frac 1 z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z+\frac 1 z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)), ale raczej nie wierzę, że to miał autor na myśli, raczej
tylko postać trygonometryczną i wykładniczą. Miałeś postać wykładniczą -- 22 paź 2018, o 19:42 --Oj, sorry, spóźniłem się.

W każdym razie co do tych pierwiastników, to wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej i okresowości pewnych funkcji (ewentualnie jakichś wzorów redukcyjnych), no i ze wzorów na cosinus czy sinus podwojonego kąta.
Przykładowo \(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{5}=2\cos^2\left( \frac{2\pi}{5}\right) -1}\) oraz
\(\displaystyle{ \sin \frac{4\pi}{5} =2\cos \frac{2\pi}{5} \sqrt{1-\cos^2\left( \frac{2\pi}{5}\right) }}\), więc jeśli \(\displaystyle{ u=\cos\frac{2\pi}{5}}\), to
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{4\pi}{5}\right) +i\sin\left( \frac{4\pi}{5}\right) =2u^2-1+i\cdot 2u\sqrt{1-u^2}}\)

[VirtualUser]

Oj, dziękuję panowie za pomoc, faktycznie sposób z różnicą potęg jest wybitny