Suma ciągu geometrycznego

[Klawy123]

Mam problem z zadaniem, a mianowicie mam wykazać że dana suma jest równa \(\displaystyle{ 0}\):

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e ^{ \frac{i \cdot 2 \cdot k \cdot \pi }{n} }}\)

[Janusz Tracz]

Innymi słowy masz pokazać że suma pierwiastków z \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1}}\) jest równa zero. Możesz to zwinąć zapisując to jako sumę ciągu geometrycznego

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e ^{ \frac{i 2 k \pi }{n} }
=\sum_{k = 0}^{n}\left( e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} }\right) ^k}\)

Choć pewnie można to interpretować graficznie.

[Klawy123]

No dobra ale jak wykazać że \(\displaystyle{ e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} } = 0}\)

[a4karo]

Ależ to nie jest zero. Wyrazy które dodajesz to suma pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\). Innymi słowy suma pierwiastków równania \(\displaystyle{ z^n-1=0}\)
Wzory Viete'a się kłaniają.


Albo inaczej. Jeżli oznaczysz tę sumę przez \(\displaystyle{ S}\), to czemu jest równe \(\displaystyle{ e^{2\pi i/n}S}\)?

[Janusz Tracz]

Tego się nie da wykazać bo to nie prawda. Nie ma takiej liczby że \(\displaystyle{ e^z=0}\). Poza tym coś mi tu nie pasuje. Jesteś pewien że tam jest \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e ^{ \frac{i 2 k \pi }{n} }}\) czy może jednak \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n-1} e ^{ \frac{i 2 k \pi }{n} }}\)

[a4karo]

Tego się nie da wykazać bo to nie prawda. Nie ma takiej liczby że \(\displaystyle{ e^z=0}\). Poza tym coś mi tu nie pasuje. Jesteś pewien że tam jest \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e ^{ \frac{i 2 k \pi }{n} }}\) czy może jednak \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n-1} e ^{ \frac{i 2 k \pi }{n} }}\)

A czemu nie pasuje? Przecież te sumy różnią się o \(\displaystyle{ 1}\)

[Janusz Tracz]

Wiem że się różnią o \(\displaystyle{ 1}\) bo pierwsza jest równa \(\displaystyle{ 1}\) a druga \(\displaystyle{ 0}\). Skoro w treści autor pisze że chce udowodnić że suma się zeruje to domyślam się że większe prawdopodobieństwo błędu jest przy pisaniu sumy a nie treści zadania w której zamienił \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ 0}\).

Więc zakładam że miało być tam \(\displaystyle{ n-1}\) wtedy korzystamy z wzoru na sumę ciągu geometrycznego i piszemy:

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n-1} e ^{ \frac{i 2 k \pi }{n} }= \frac{\left( e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} }\right)^n-1 }{e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} }-1}= \frac{e^{2\pi i}-1}{e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} }-1}= \frac{1-1}{e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} }-1}=0}\)


Co kończy dowód. Moment kluczowy to zauważanie że masz do czynienia z sumą ciągu geometrycznego a potem że \(\displaystyle{ e^{2k\pi i}=1}\) co wynika z wzoru Eulera.

[Klawy123]

A jak wykazać że mianownik jest różny od 0?

[Janusz Tracz]

Niezerowy mianownik mamy stąd że \(\displaystyle{ e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} }}\) jest równe \(\displaystyle{ 1}\) tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\). Można to zauważyć badając

\(\displaystyle{ e ^{ \frac{i 2 \pi }{n} }=\cos \frac{2 \pi }{n}+i\sin \frac{2 \pi }{n}}\)