Wyznaczenie sum

[papui]

Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum
\(\displaystyle{ 1+ \cos \alpha +\cos 2 \alpha +...+\cos n \alpha\\ 0+\sin \alpha + \sin 2 \alpha +...+\sin n \alpha}\)

Niech:\(\displaystyle{ z = e^{i \alpha } = \cos \alpha + \sin \alpha}\)

Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy
\(\displaystyle{ 1+ \cos \alpha+\cos 2 \alpha +...+\cos n \alpha\\ 0+\sin \alpha + \sin 2 \alpha +...+ \sin n \alpha}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ 1+ \cos \alpha+\cos 2 \alpha +...+\cos n \alpha = R (1+ z + z ^{2}+...+ z ^{n})\\ 0+\sin \alpha + \sin 2 \alpha +...+ \sin n \alpha = I (1+ z + z ^{2}+...+ z ^{n})}\)

Dla \(\displaystyle{ z=e ^{i \alpha } \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 1+ z + z ^{2}+...+ z ^{n} = \frac{ z ^{n+1} -1 }{z - 1} = \frac{e ^{i(n+1) \alpha }-1 }{e ^{i \alpha }-1 } = \frac{e ^{i(n+1) \alpha } -1}{e ^{i \alpha }-1 } \cdot \frac{{e ^{-i \alpha }-1 }}{{e ^{-i \alpha }-1 }}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{e ^{in \alpha }-e ^{i(n+1) \alpha } - e ^{-i \alpha } -1 }{2 - e ^{i \alpha } -e ^{-i \alpha } }}\)

Nie rozumiem tej części
\(\displaystyle{ \frac{e ^{i(n+1) \alpha } -1}{e ^{i \alpha }-1 } \cdot \frac{{e ^{-i \alpha }-1 }}{{e ^{-i \alpha }-1 }}=\frac{e ^{in \alpha }-e ^{i(n+1) \alpha } - e ^{-i \alpha }-1 }{2 - e ^{i \alpha } -e ^{-i \alpha } }}\)

Nie rozumiem jak wychodzi to
\(\displaystyle{ =\frac{e ^{in \alpha }-e ^{i(n+1) \alpha } - e ^{-i \alpha }-1 }{2 - e ^{i \alpha } -e ^{-i \alpha } }}\)
Szukałam jakiś filmów na youtube ale niewiele mi pomogły, jakby ktoś wytłumaczył co tam zachodzi, lub podpowiedział gdzie się cofnąć z materiałem żeby to zrozumieć, jakieś porady.

[Chromosom]

Wystarczy pomnożyć nawiasy i ułamki przykład

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\\ \\ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}\)

Spróbuj samodzielnie:

\(\displaystyle{ \left(e^{\text i\alpha}-1\right)\left(e^{-\text i\alpha}-1\right)}\)

[Janusz Tracz]

Pomysł wygląda na niezły choć przydało by się coś napisać, bo to jest ściana znaczków. Powiedzmy że się domyślam o co Ci chodziło. Niech więc wyjściową równością będzie:

\(\displaystyle{ \left( e^{i \alpha }\right)^n=\cos n \alpha + i \sin n \alpha}\)

Równość jest prawdziwa dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Sumując stronami po \(\displaystyle{ n}\) mamy

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \left( e^{i \alpha }\right)^n= \sum_{n=1}^{N}\cos n \alpha + i \sum_{n=1}^{N}\sin n \alpha}\)

Teraz okazuje się że sumę po lewej stronie można odliczyć jawnie ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego. A by wyrazić interesujące nas sumy trzeba policzyć:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}\cos \alpha n=\Re\left\{ \sum_{n=1}^{N} \left( e^{i \alpha }\right)^n\right\}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}\sin \alpha n=\Im\left\{ \sum_{n=1}^{N} \left( e^{i \alpha }\right)^n\right\}}\)

Co jest zadaniem prostym gdy zapiszemy że:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \left( e^{i \alpha }\right)^n=e^{i \alpha } \cdot \frac{e^{i N\alpha }-1}{e^{i \alpha }-1}=\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \cdot \frac{\cos N \alpha-1 + i \sin N \alpha}{\cos \alpha-1 +i\sin \alpha }}\)

Mnożąc i dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ \cos \alpha-1 -i\sin \alpha}\) można pozbyć się liczb zespolonych z mianownika i bez problemy znaleźć interesujące części rozwiązania. Dasz radę dokończyć?

EDIT: Dotyczyło zagubionej zmienne \(\displaystyle{ \alpha}\) we wzorku. Dzięki czujności Jan Kraszewski błąd naprawiłem.