Równość liczb zespolonych

[HaloAlo]

Mam zadanie \(\displaystyle{ z^{4}=(\overline{z})^{4}}\).
I robię tak: \(\displaystyle{ r=\left|z\right| , r^{4} \cdot e^{4i\alpha }=r^{4} \cdot e^{-4i\alpha }}\)
Czyli \(\displaystyle{ r=0 \Leftrightarrow z=0}\)
lub
\(\displaystyle{ 4i\alpha=-4i(\alpha +2k \pi) \Leftrightarrow
2 \alpha =2k \pi \Leftrightarrow
\alpha =k \pi}\)
Czyli część urojona nie istnieje, a to bzdura, bo są liczby (np. \(\displaystyle{ z=1+i}\), które spełniają tą równość). Bardzo proszę o pomoc

[janusz47]

Na przykład taki sposób:

\(\displaystyle{ (x+ iy)^4 = (x-iy)^4\ \ (1)}\)

Stosujemy rozwinięcie dwumianu Newtona po prawej i lewej stronie równości (1).

Upraszczają się składniki o potęgach parzystych.

Rozwiązujemy równanie:

\(\displaystyle{ 8x^3iy -8 xiy^3 =0}\)

\(\displaystyle{ 8xyi(x^2 - y^2) = 8xyi( x+y)(x - y)=0}\)

Otrzymujemy cztery typu liczb zespolonych (jakie?):

\(\displaystyle{ z_{1}=...}\)

\(\displaystyle{ z_{2}=...}\)

\(\displaystyle{ z_{3}=...}\)

\(\displaystyle{ z_{4}=...}\)

[HaloAlo]

\(\displaystyle{ z=x+yi : ( x=y \vee x=-y \vee x=0 \vee y=0 )}\)
Zgadza się, rozwiązanie tą metodą jest w sumie super szybkie i łatwe, ale zastanawia mnie, dlaczego moja metoda prowadzi do błędych wyników?

[janusz47]

Twoje rozwiązanie nie prowadzi do błędnych wyników, tylko trzeba je dokładnie przeprowadzić, analizując dla różnych wartości \(\displaystyle{ k\in \ZZ.}\)

W tym celu porównaj swoje pierwsze równanie do \(\displaystyle{ 0.}\)

Jaką funkcję trygonometryczną można zastąpić jego lewą stronę?

\(\displaystyle{ r \geq 0.}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 4i\alpha=-4i(\alpha +2k \pi)}\)

Nieprawdziwa jest ta równość - tam nie powinno być nawiasu.

Mamy \(\displaystyle{ e^{i\varphi}=e^{i\psi} \Leftrightarrow \varphi=\psi + 2k\pi,}\) czyli \(\displaystyle{ 4\alpha = -4\alpha+2k\pi,}\) skąd masz \(\displaystyle{ \alpha=\frac{k\pi}{4}}\).

JK

[HaloAlo]

I wszystko jasne Wielkie dzięki