Porównaj części rzeczywiste i urojone

[xxdakee]

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania znaleźć jego rozwiązanie:

\(\displaystyle{ z^{3}=1}\)

-- 19 paź 2018, o 11:17 --

Wytłumaczy mi ktoś jak to rozwiązać?

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ z=x+iy}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in \RR}\), to ze wzoru na sześcian sumy dostajemy
\(\displaystyle{ (x+iy)^3=\\=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3=\\=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)}\)
Przyrównując części rzeczywiste i urojone dostajesz więc układ równań w rzeczywistych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3-3xy^2=1 \\3x^2y-y^3=0 \end{cases}}\)

[xxdakee]

Jeżeli \(\displaystyle{ z=x+iy}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in \RR}\), to ze wzoru na sześcian sumy dostajemy
\(\displaystyle{ (x+iy)^3=\\=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3=\\=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)}\)
Przyrównując części rzeczywiste i urojone dostajesz więc układ równań w rzeczywistych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3-3xy^2=1 \\3x^2y-y^3=0 \end{cases}}\)

Do tego momentu akurat doszedłem, tylko potem się gubię. Powinny wyjść 3 rozwiązania prawda?

[Premislav]

Potem warto zacząć od tego drugiego równania układu, bo na pierwszy rzut oka więcej można z niego wywnioskować.
\(\displaystyle{ 3x^2y-y^3=0 \Leftrightarrow y\left( 3x^2-y^2\right) =0}\)
Kiedy iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zero?
Dostajesz trzy przypadki:
1) \(\displaystyle{ y=0}\)
2) \(\displaystyle{ y=\sqrt{3}x}\)
3) \(\displaystyle{ y=-\sqrt{3}x}\)
W każdym z tych przypadków po prostu podstawiasz to do pierwszego równania i liczysz.

BTW postać wykładnicza od razu daje rozwiązanie, ale rozumiem, że nie o to chodziło w zadaniu.