Wyrazić funkcję

[Leakof]

Podane funkcje wyrazić za pomocą występujących w pierwszej potędze funkcji sinus i cosinus argumentu będącego wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ (\cos(x))^5}\)

Zadanie byłoby łatwe gdybym mógł swobodnie operować sobie na wzorach trygonometrycznych i bym sobie to normalnie zredukował, ale muszę koniecznie korzystać z liczb zespolonych :/

[Janusz Tracz]

Nie musisz tego koniecznie robić na liczbach zespolonych można się wybronić. Ale na zespolonych jest łatwo. Pamiętaj że:

\(\displaystyle{ \cos x= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\)

Dlatego

\(\displaystyle{ \cos^5 x= \frac{\left( e^{ix}+e^{-ix}\right)^5 }{32}= \frac{e^{5ix}+e^{-5ix}+5\left(e^{3ix}+e^{-3ix} \right) +10\left( e^{ix}+e^{-ix}\right) }{32}}\)

A to się ładnie zwija z powrotem ze wzoru:

\(\displaystyle{ \frac{1}{16} \cdot \frac{e^{5ix}+e^{-5ix}}{2}+ \frac{5}{16} \cdot \frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}+ \frac{10}{16} \cdot \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\frac{\cos 5x}{16}+\frac{5\cos 3x}{16}+ \frac{5\cos x}{8}}\)

[janusz47]

Wzór de Moivre'a:

\(\displaystyle{ [\cos(x) + i\sin(x)]^5 = \cos(5x)+ i\sin(5x) .}\)

Podnieś lewą stronę tego wzoru do piątej potęgi i porównaj jej część rzeczywistą z \(\displaystyle{ \cos(5x)}\)

Z otrzymanego równania wyznacz \(\displaystyle{ \cos^5(x).}\)

[Janusz Tracz]

janusz47 ta metoda nie spełnia warunku

Podane funkcje wyrazić za pomocą występujących w pierwszej potędze funkcji sinus i cosinus