Nierówność zespolona

[VirtualUser]

Należy wykazać, że:

\(\displaystyle{ \left| z_1 - z_2 \right| \le \left| \left| z_1 \right| - \left| z_2\right| \right| + min\left\{ \left| z_1\right|, \left| z_2\right| \right\} \cdot \left| arg \left( z_1 \right) - arg \left( z_2 \right) \right|}\)

Dodatkowo kiedy nierówność staje się równością?

[Janusz Tracz]

Więc ja bym na to spojrzał geometrycznie. \(\displaystyle{ \left| z_1 - z_2 \right|}\) to odległość pomiędzy liczbami. \(\displaystyle{ \left| \left| z_1 \right|-\left| z_2 \right|\right|}\) to różnica długości między modułami innymi słowy jeśli wykreślimy okręgi o środku \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniach odpowiednio \(\displaystyle{ |z_1|,|z_2|}\) to jest to odległość tych okręgów od siebie. Natomiast \(\displaystyle{ \min\left\{ \left| z_1\right|, \left| z_2\right| \right\} \cdot \left| \arg(z_1) - \arg(z_2)\right|}\) to promień mniejszego okręgu pomnożony przez kąt pomiędzy tymi liczbami, to będzie długość łuku. Dostajemy więc "trójkąt" z wygiętym bokiem. Wiadomo że dla trójkątów zachodzi nierówność trójkąta a łuk jest jeszcze dłuższy od jednego z tych boków. Co kończy dowód. Nie wiem jak tu wrzucać rysunki nie jestem pewien czy to w ogóle regulaminowe choć często widzę że inny wrzucają.-- 17 paź 2018, o 21:38 --Równość zajdzie gdy tego łuku nie będzie czyli gdy liczby będą współliniowe ze środkiem układu.