Własności modułu w liczbach zespolonych

[Leakof]

Udowodnić, że funkcja "moduł" w ciele liczb zespolonych ma następującą własność:

\(\displaystyle{ \left| z_1 + z_2 \right| = \left|z_1 \right| +\left| z_2\right|}\) wtedy i tylko wtedy gdy wektory reprezentujące liczby \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) mają jednakowy kierunek i zwrot.

Myślałem o tym by zastosować proporcje \(\displaystyle{ \frac{Re(z)}{Im(z)}}\) jednak to nie gwarantuje mi jednakowego zwrotu... myślę i nie mogę wpaść na to jak inaczej rozwiązać te zadanie.

[kerajs]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ z_1=a_1+ib_1\\
z_2=a_2+ib_2\\
\left| z_1+z_2\right|=\left| z_1\right| +\left| z_2\right| \\
\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2} = \sqrt{a_1^2+b_1^2}+ \sqrt{a_2^2+b_2^2}\\
(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2 = a_1^2+b_1^2+2 \sqrt{a_2^2+b_2^2} \sqrt{a_1^2+b_1^2}+ a_2^2+b_2^2\\
2a_1a_2+2b_1b_2=2 \sqrt{a_2^2+b_2^2} \sqrt{a_1^2+b_1^2}\\
(a_1a_2+b_1b_2)^2=(a_2^2+b_2^2)(a_1^2+b_1^2)\\
2a_1a_2b_1b_2=a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2\\
(a_1b_2-a_2b_1)^2=0\\
a_1b_2-a_2b_1=0}\)
a to jest warunek równoległości.

Skoro promienie są równoległe to mają ten sam kierunek.
Ponieważ oba zawsze są dodatnie więc i zwrot mają ten sam.

[karolex123]

Ideologiczny dowód bez rachunków jest taki: utożsamiamy \(\displaystyle{ \mathbb C}\) z dwuwymiarową przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb R}\) (możemy zapomnieć o strukturze mnożenia w \(\displaystyle{ \mathbb C}\), tj. zapominamy że jest to algebra). Mamy bowiem naturalną odpowiedniość:
\(\displaystyle{ (a+bi ) \rightarrow (a,b)}\) między zbiorem liczb zespolonych a płaszczyzną nad \(\displaystyle{ \mathbb R}\) (jest to nawet izomorfizm przestrzeni liniowych). Łatwo teraz zobaczyć, że modułem liczby zespolonej \(\displaystyle{ a+bi}\) jest po prostu długość wektora \(\displaystyle{ (a,b) \in \mathbb R ^2}\); wystarczy powołać się teraz na wniosek z nierówności Schwarza, że \(\displaystyle{ \left| z_1 + z_2 \right| = \left|z_1 \right| +\left| z_2\right|}\) tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z_1 , z_2}\) są liniowo zależne. Oznacza to zaś, że macierz której kolumnami są wektory \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) (utożsamiamy liczby zespolone z wektorami w płaszczyźnie) musi być osobliwa, a więc jej wyznacznik powinien się zerować. Dostajemy natychmiast warunek wyznaczony w poprzednim poście.