Wyznaczanie własności, równania, zbiory

[itemiak]

Witam,

aktualnie borykam się z tematem liczb zespolonych dlatego chciałbym poradzić się w kwestii kilku zadań, ponieważ cięzko mi znaleźć podobny przykład w celu zrozumienia danego zadania.

1. Wyznacz \(\displaystyle{ \left| z\right|, Re\left( z\right), Im\left( z\right)}\) oraz sprzężenie.

a) \(\displaystyle{ z = \frac{\left( 2 - 2i\right)^{4} }{\left( 1 - i\right) ^{8} }}\),
tutaj zacząłem wyliczać moduł licznika i cosinus "fi" wychodzi \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2} }{2}}\) co powoduje, że nie potrafię dalej tego pociągnąć, bo w tabeli nie ma takiej wartości pasującej do sinusa i cosinusa.

2. Wyznacz rozwiązania następujących równań (w zbiorze liczb zespolonych)

a) \(\displaystyle{ z ^{4} + \left( 1 - i\right)z ^{2} - i = 0}\),
tutaj użyłem zmiennej pomocniczej t, jednak t_{1/2} wyszło mi równe \(\displaystyle{ \frac{-1 + i \pm \sqrt{2i} }{2}}\) co jest dość dziwnym wynikiem jeżeli mam jeszcze wyciągnąć z tego pierwiastek?

b) \(\displaystyle{ z ^{2} - \left( 3 - 2i\right)z + 5 - 5i = 0}\),
wyszła mi delta \(\displaystyle{ -15 + 8i}\), więc czy jest to porawne i jeżeli tak to jak postapić z pierwiastkiem z tego w wyniku?

c) sprzężenie z \(\displaystyle{ z - l = z + 1}\)
(przepraszam, ale nie wiem jak w LATEXIE uzyskać sprzężenie), w tym wypadku nie wiem kompletnie jak się za to zabrać.

3. Zaznacz następujące zbiory w przestrzeni zespolonej.

a) \(\displaystyle{ \left| \frac{z + 3}{z - 2i} \right| \ge 1}\),
doszedłem do nierówności \(\displaystyle{ 6x + 4y \ge -5}\), jest to poprawne? Jak to pociągnąć dalej?

b) \(\displaystyle{ Im \frac{1 + iz}{1 - iz} = 1}\),
doszedłem do równania \(\displaystyle{ 1 + 2ix - x ^{2} - y ^{2} = \left( 1 + y\right) ^{2} + x ^{2}}\), mogę jedynie wnioskować, że wychodzi tutaj okrąg ze środkiem S(0, 1), jednak co z promieniem, jest na to jakiś sposób czy jednak jest to niepoprawne?

Z góry dziękuję za jakiekolwiek odpowiedzi i porady!

[Jan Kraszewski]

tutaj zacząłem wyliczać moduł licznika i cosinus "fi" wychodzi \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2} }{2}}\) co powoduje, że nie potrafię dalej tego pociągnąć, bo w tabeli nie ma takiej wartości pasującej do sinusa i cosinusa.

Ponieważ \(\displaystyle{ \cos x\le 1}\), więc nic dziwnego, że nie ma w tabeli... Sprawdź jeszcze raz, jak się liczy ten cosinus.

c) sprzężenie z \(\displaystyle{ z - l = z + 1}\)
(przepraszam, ale nie wiem jak w LATEXIE uzyskać sprzężenie),

\(\displaystyle{ \overline{z-l}}\) overline{z-l}

JK