Kosmiczne liczenie

[VirtualUser]

Witam, czy ktoś ma pomysł jak rozwiązać te równanie
\(\displaystyle{ \left| \frac{1+z}{1-i \cdot \bar{z}} \right| = 1}\) bez kosmicznego liczenia?
Osobiście zamieniam \(\displaystyle{ z}\) na \(\displaystyle{ a+bi}\) i kotłuję to, aż lewa strona przybiera jakąś postać \(\displaystyle{ \left| w \right|}\) ( liczba zespolona ) ale jak zastosuje wzór na moduł to mam znów kobylaste liczenie.

[Janusz Tracz]

zakładamy że mianownik jest niezerowy i przekształcamy:

\(\displaystyle{ \left| \frac{1+z}{1-i \cdot \bar{z}} \right| = 1}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left| 1-i\bar{z}\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left| i\bar{z}-1\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left| i\left( \bar{z}- \frac{1}{i} \right) \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|= \left| i\right|\left| \left( \bar{z}+i \right) \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left|z-i \right|}\)

Gdzie ostatnie przejście jest konsekwencją \(\displaystyle{ \left| \bar{ \alpha }\right|=\left| \alpha \right|}\) oraz liniowości sprzężenia. Teraz interpretacja geometryczna jest już łatwa. Jest to prosta składająca się z punktów równo oddalonych od \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ i}\)

[karolex123]

Oczywiście \(\displaystyle{ z \neq i}\). Równoważnie mamy \(\displaystyle{ \left| 1+z\right| =\left| 1-i\bar{z} \right|}\), no i pisząc \(\displaystyle{ z=a+bi}\) dostajemy \(\displaystyle{ (1+a)^2+b^2=(1-b)^2+a^2}\), skąd \(\displaystyle{ a=-b}\).
Można też łatwo zobaczyć, że dane równanie można zapisać tak: \(\displaystyle{ \left| 1+z\right|=\left| i+\bar{z}\right|}\), zatem jego rozwiązaniem jest ten zbiór punktów płaszczyzny zespolonej, których odległość od punktu \(\displaystyle{ \left( -1,0\right)}\) (czyli liczby \(\displaystyle{ -1)}\) jest taka sama jak odległość ich obrazu w symetrii względem osi rzeczywistej od punktu \(\displaystyle{ \left( 0,-1\right)}\) (czyli liczby \(\displaystyle{ -i}\)). Widać, że prosta dana równaniem \(\displaystyle{ y=-x}\) jest szukanym zbiorem, i taka jest właśnie geometryczna interpretacja rozwiązania

[VirtualUser]

zakładamy że mianownik jest niezerowy i przekształcamy:

\(\displaystyle{ \left| \frac{1+z}{1-i \cdot \bar{z}} \right| = 1}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left| 1-i\bar{z}\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left| i\bar{z}-1\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left| i\left( \bar{z}- \frac{1}{i} \right) \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|= \left| i\right|\left| \left( \bar{z}+i \right) \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|=\left|z-i \right|}\)

Gdzie ostatnie przejście jest konsekwencją \(\displaystyle{ \left| \bar{ \alpha }\right|=\left| \alpha \right|}\) oraz liniowości sprzężenia. Teraz interpretacja geometryczna jest już łatwa. Jest to prosta składająca się z punktów równo oddalonych od \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ i}\)

Przepraszam ale nie rozumiem tego ostatniego przejścia mimo wytłumaczenia... Czy mógłbyś je rozpisać?

[a4karo]

\(\displaystyle{ |i||\overline{z}+i|=1\cdot|\overline{\overline{z}+i}|}\). Dalej sobie poradzisz?