Równanie zespolone

[inkk1]

Witam,

mam problem z rozwiązaniem równania zespolonego z wartością bezwzględną. Jestem na 1 roku studiów. Wychodzi mi wynik \(\displaystyle{ z= \sqrt{5}}\), a powinno wyjść \(\displaystyle{ z=2}\). Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \left| z-1\right|+ \overline{z} = 3}\)

[kerajs]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2}+x-iy=3}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+y^2}+x=3 \\ y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| x-1\right| +x=3 \\ y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}}\)

[inkk1]

Czyli jeśli mamy \(\displaystyle{ |z-1|}\) to układamy równanie \(\displaystyle{ \sqrt{(x-1) ^{2}+y ^{2}}}\) ? Dlaczego odejmujemy tą \(\displaystyle{ 1}\) od \(\displaystyle{ x}\), a nie od \(\displaystyle{ y}\)? Przerabiałam kurs, ale nie było wspominane o takim odejmowaniu.

[kerajs]

Bo grupujesz części rzeczywiste i części zespolone. Np:

\(\displaystyle{ z_1=z+1-i\cdot 3=(x+1)+i(y-3) \ , \ \ \ \ \ \left| z_1\right|= \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2} \\
\\
z_2=z+i\cdot 2=(x)+i(y+2) \ , \ \ \ \ \ \left| z_2\right|= \sqrt{(x)^2+(y+2)^2} \\
\\
z_3=z-1=(x-1)+i(y) \ , \ \ \ \ \ \left| z_3\right|= \sqrt{(x-1)^2+(y)^2}}\)

[MPXD]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2}+x-iy=3}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+y^2}+x=3 \\ y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| x-1\right| +x=3 \\ y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}}\)

Wszystko jasne, ale dlaczego jest przyjęte
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ y=0 \end{cases}}\) ?

[Jan Kraszewski]

Bo \(\displaystyle{ 3=3+0\cdot i}\).

JK

[MPXD]

Faktycznie, głupie pytanie, dziękuję