Przedstaw w postaci trygonometrycznej

[Sansi]

Mam za zadanie przedstawić liczbę w postaci trygonometrycznej

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-27}}\)

wynik to \(\displaystyle{ -3}\) ale jak z tego wyjść na postać trygonometryczną? W tabelach jest wartość \(\displaystyle{ - \sqrt{3}}\), a nie samo \(\displaystyle{ -3}\) :/
Proszę o pomoc

[radagast]

\(\displaystyle{ -27}\) w postci trygoometrycznej wygląd tak:
\(\displaystyle{ 27\left(\cos\pi+i\sin \pi \right)}\)
zatem
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{27}}\) to
\(\displaystyle{ z_1=3\left(\cos \frac{\pi}{3} +i\sin \frac{\pi}{3} \right)=3\left( \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)= \frac{3}{2}+\frac{ 3i\sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z_2=3\left(\cos (-\pi) +i\sin (-\pi) \right)=3\left( -1+i \cdot 0 \right)= -3}\)
\(\displaystyle{ z_3=3\left(\cos \frac{5\pi}{3} +i\sin \frac{5\pi}{3} \right)=3\left( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)= \frac{3}{2}-\frac{ 3i\sqrt{3} }{2}}\)
Każda z tych liczb podniesiona do trzeciej potęgi daje \(\displaystyle{ -27}\).

[Sansi]

Czyli to jakoś tak trzeba po prostu wiedzieć co podniesione do \(\displaystyle{ 3}\) potęgi da tamtą liczbę? Czyli w zasadzie na szybko sprawdzić całą tabele?

[AiDi]

O jakiej tabeli mówisz? Myślę, że dobrze jakbyś zajrzała np.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pierwiastkowanie#Pierwiastek_zespolony

.

[Sansi]

Niestety nadal nie jest to dla mnie jasne.
Na stronie, którą wskazałeś jest \(\displaystyle{ z=4}\), a później pierwiastki mają \(\displaystyle{ 2}\) w mianowniku. Tutaj w moim przykładzie wyliczenie daje \(\displaystyle{ z=3}\) i mianownik \(\displaystyle{ 3}\). No i nie mam pojęcia skąd było wiadomo, żeby przyjąć \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\) w tych miejscach o takich, a nie innych wartościach
Czytam, próbuje, sprawdzam ale nie mogę załapać :/

Edit...

Wydaje mi się, że chyba jedną rzecz wreszcie pojęłam.

\(\displaystyle{ z}\) początkowo to tak naprawdę liczba pod pierwiastkiem. Stopień pierwiastka mówi ile ma być wyników, a więc stąd później \(\displaystyle{ 3}\).
To samo w przykładzie na podanej stronie. Wynik \(\displaystyle{ 4}\), stopień \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 2^2=4}\). Stąd \(\displaystyle{ 2}\).

Ale tego skąd wiedzieć czy wziąć \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{3}}\) , albo samo \(\displaystyle{ \pi}\) nie wiem proszę o pomoc

[radagast]

Może tu poczytaj:
a potem tu

[Sansi]

Mimo najszczerszych chęci robię coś źle.


Jeżeli przyjmę, że podstawiam \(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{-27}{27} = -1}\) <-- gdyby tutaj wychodziło mi \(\displaystyle{ 1}\) to już byłoby dobrze chyba, ale skoro mam podstawić część rzeczywistą, a ona wynosi \(\displaystyle{ -27}\) to mam sytuację z II ćwiartki, wartości \(\displaystyle{ \cos = -1}\) oraz \(\displaystyle{ \sin = 0}\) pasują do \(\displaystyle{ 180}\) stopni, a więc \(\displaystyle{ \alpha = \pi}\)

Tak więc \(\displaystyle{ \varphi = \pi - \alpha = \pi - \pi = 0}\)

\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{\left| 27\right| } \left( \cos \frac{0+2 \cdot 0 \cdot \pi }{3} + i \sin \frac{0+2 \cdot 0 \cdot \pi }{3} \right) = 3}\)

Gdzie popełniam błąd?

[Jan Kraszewski]

Tak więc \(\displaystyle{ \varphi = \pi - \alpha = \pi - \pi = 0}\)

A to skąd?

Wychodzi Ci \(\displaystyle{ \varphi=\pi}\), podstawiasz i wychodzi.

JK