Proste mnożenie w zbiorze liczb zespolonych

[Muppet]

Mam takie krótkie pytanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = 2i \cdot 3i = 6 \cdot i^{2} = -6}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{(-4) \cdot (-9)} = \sqrt{36} = 6}\)

I w związku z tym dwa krótkie pytania:
1. Dlaczego ten drugi wynik jest niepoprawny (wg Wolfram Alpha)?
2. Ile jest równe \(\displaystyle{ x = \sqrt{36}}\) w zbiorze liczb zespolonych? Jednocześnie \(\displaystyle{ -6}\) i \(\displaystyle{ 6}\)?

Dzięki za odpowiedź

[squared]

Ad. 2.
Niech \(\displaystyle{ z=\sqrt{36}=a+bi}\). Wówczas
\(\displaystyle{ a^2-b^2+2abi=36 \Leftrightarrow \begin{cases} a^2-b^2=36 \\ 2ab=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0\\ b^2 = -36 \end{cases} \ \text{sprz.} \vee \begin{cases} b=0 \\ a^2=36 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=0 \\ a=6 \end{cases} \vee \begin{cases} b=0 \\ a=-6 \end{cases}}\).

Czyli \(\displaystyle{ z=6 \vee z=-6}\)

Ad. 1
Analogicznie: \(\displaystyle{ \sqrt{-4}=\pm 2i, \sqrt{-9}=\pm 3i \rightarrow \sqrt{-4} \time \sqrt{-9}=\pm 6}\)

[Kaf]

Jeśli się poruszamy w liczbach rzeczywistych, to \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) oznacza zazwyczaj pierwiastek arytmetyczny liczby \(\displaystyle{ a}\) (czyli dodatnie rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x^2=a}\)). Jeśli zaś mówimy o liczbach zespolonych, to często \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) oznacza zbiór wszystkich rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^2=a}\) (analogiczna konwencja dla pierwiastków wyższych stopni). W tym drugim przypadku te rachunki po prostu nie mają sensu. To po prostu próba przeniesienia czegoś z \(\displaystyle{ \RR}\) czego tak się przenieść nie da. Potęgowanie i pierwiastkowanie jest w liczbach zespolonych trochę bardziej problematyczne, przykładowo nie istnieje ciągła funkcja \(\displaystyle{ f\colon\CC \to \CC}\) taka, że dla dowolnego \(\displaystyle{ z\in\CC}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(z)^2=z}\).