równanie kwadratowe
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 16 paź 2017, o 19:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 8 razy
równanie kwadratowe
Cześć,
podpowiedziałby mi ktoś jak rozwiązać to rówanie zespolone?
\(\displaystyle{ z ^{2} + 2z + i = 0}\)
podpowiedziałby mi ktoś jak rozwiązać to rówanie zespolone?
\(\displaystyle{ z ^{2} + 2z + i = 0}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: równanie kwadratowe
Kwadratowe równania zespolone rozwiązujemy tak samo jak równania określona na \(\displaystyle{ \RR}\). Zacznij od policzenia wyróżnika.
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 16 paź 2017, o 19:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 8 razy
- xxDorianxx
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 22 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: równanie kwadratowe
Ten wzór to podpis Janusza Tracza i nie ma on nic wspólnego z rozwiązaniem zadania, więc nie musisz się nim przejmować. A wzór na wyróżnik trójmianu kwadratowego to powinnaś znać.
Można i tak:
\(\displaystyle{ z^2+2z+i=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z^2+2z+1-1+i=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z+1)^2=1-i \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z+1)^2=\sqrt{2}\left( \cos\left( -\frac \pi 4+2k\pi\right) +i\sin\left( -\frac \pi 4+2k\pi\right) \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z+1=2^{\frac 1 4}\left( \cos\left( -\frac \pi 8+k\pi\right) +i\sin\left( -\frac \pi 8+k\pi\right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\),
tj. wykorzystanie postaci trygonometrycznej i wzoru de Moivre'a.
Wystarczy potem wstawić np. \(\displaystyle{ k=1, \ k=2}\), a no i jeszcze policzyć te sinusy/cosinusy.
Można i tak:
\(\displaystyle{ z^2+2z+i=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z^2+2z+1-1+i=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z+1)^2=1-i \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z+1)^2=\sqrt{2}\left( \cos\left( -\frac \pi 4+2k\pi\right) +i\sin\left( -\frac \pi 4+2k\pi\right) \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z+1=2^{\frac 1 4}\left( \cos\left( -\frac \pi 8+k\pi\right) +i\sin\left( -\frac \pi 8+k\pi\right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\),
tj. wykorzystanie postaci trygonometrycznej i wzoru de Moivre'a.
Wystarczy potem wstawić np. \(\displaystyle{ k=1, \ k=2}\), a no i jeszcze policzyć te sinusy/cosinusy.
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 16 paź 2017, o 19:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 8 razy
Re: równanie kwadratowe
Premislav, właśnie wiem, źle sobie popatrzyłam wcześniej i mysłałam, że to jest wzór do mojego zadania :p
Dziękuję za rozwiązanie
Próbowałam policzyć z delty, jednak potem wychodzą mi takie liczby, że nie potrafię z nich wybrnąć, tak samo jak po podstawieniu \(\displaystyle{ z=x+iy}\) :/
Dziękuję za rozwiązanie
Próbowałam policzyć z delty, jednak potem wychodzą mi takie liczby, że nie potrafię z nich wybrnąć, tak samo jak po podstawieniu \(\displaystyle{ z=x+iy}\) :/
Ostatnio zmieniony 8 sie 2018, o 00:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: równanie kwadratowe
Problemem może jedynie być policzenie \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)}\) oraz odpowiednio \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)}\). Można to zrobić zauważając że \(\displaystyle{ \sin2x=2\sin x\cos x}\). Gdy położymy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{8}}\) to mamy
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}=\sin\left( \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)=\sin\left( \frac{\pi}{8} \right) \sqrt{1-\sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right)}}\)
Po rozwiązaniu tego za względu na \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)}\) dostajemy że:
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)= \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)= \frac{ \sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}}\)
Pominąłem tu kilka założeń ale uzupełnienie tego może być ćwiczeniem.
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}=\sin\left( \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)=\sin\left( \frac{\pi}{8} \right) \sqrt{1-\sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right)}}\)
Po rozwiązaniu tego za względu na \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)}\) dostajemy że:
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)= \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)= \frac{ \sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}}\)
Pominąłem tu kilka założeń ale uzupełnienie tego może być ćwiczeniem.