równanie kwadratowe

[magdaaa1998]

Cześć,
podpowiedziałby mi ktoś jak rozwiązać to rówanie zespolone?
\(\displaystyle{ z ^{2} + 2z + i = 0}\)

[Janusz Tracz]

Kwadratowe równania zespolone rozwiązujemy tak samo jak równania określona na \(\displaystyle{ \RR}\). Zacznij od policzenia wyróżnika.

[magdaaa1998]

A nie ma jakiegoś innego sposobu? niestety chyba pierwszy raz widzę ten wzór

[Dilectus]

O jakim wzorze mówisz?

[xxDorianxx]

Pierwszy raz wzór na wyróżnik?

[Dilectus]

Najnormalniej w świecie liczysz deltę itd.

[Premislav]

Ten wzór to podpis Janusza Tracza i nie ma on nic wspólnego z rozwiązaniem zadania, więc nie musisz się nim przejmować. A wzór na wyróżnik trójmianu kwadratowego to powinnaś znać.

Można i tak:
\(\displaystyle{ z^2+2z+i=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z^2+2z+1-1+i=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z+1)^2=1-i \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (z+1)^2=\sqrt{2}\left( \cos\left( -\frac \pi 4+2k\pi\right) +i\sin\left( -\frac \pi 4+2k\pi\right) \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z+1=2^{\frac 1 4}\left( \cos\left( -\frac \pi 8+k\pi\right) +i\sin\left( -\frac \pi 8+k\pi\right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\),
tj. wykorzystanie postaci trygonometrycznej i wzoru de Moivre'a.
Wystarczy potem wstawić np. \(\displaystyle{ k=1, \ k=2}\), a no i jeszcze policzyć te sinusy/cosinusy.

[magdaaa1998]

Premislav, właśnie wiem, źle sobie popatrzyłam wcześniej i mysłałam, że to jest wzór do mojego zadania :p
Dziękuję za rozwiązanie
Próbowałam policzyć z delty, jednak potem wychodzą mi takie liczby, że nie potrafię z nich wybrnąć, tak samo jak po podstawieniu \(\displaystyle{ z=x+iy}\) :/

[Janusz Tracz]

Problemem może jedynie być policzenie \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)}\) oraz odpowiednio \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)}\). Można to zrobić zauważając że \(\displaystyle{ \sin2x=2\sin x\cos x}\). Gdy położymy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{8}}\) to mamy

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}=\sin\left( \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)=\sin\left( \frac{\pi}{8} \right) \sqrt{1-\sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right)}}\)

Po rozwiązaniu tego za względu na \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)}\) dostajemy że:

\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8} \right)= \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)= \frac{ \sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}}\)

Pominąłem tu kilka założeń ale uzupełnienie tego może być ćwiczeniem.