Interpretacja graficzna nierówności

[adam_b]

Jak narysować takie cudo?

\(\displaystyle{ \left|z+1+i^{3}\right|\le Re\left(\frac{2i}{1+i} \right) \wedge arg\left( -i\right)\le argz\le Arg\left( 1-i\right)}\)

[szw1710]

Ale udziwnili.

A jakbym napisał tak: dane są \(\displaystyle{ z_0\in\CC}\), \(\displaystyle{ r>0}\) oraz dwa kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Narysuj zbiór punktów \(\displaystyle{ z\in\CC}\) spełniających dwie nierówności:

\(\displaystyle{ |z-z_0|<r}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha<\arg z<\beta}\)?

Umiałbyś to narysować? Jak to mniej więcej wygląda?

[adam_b]

Dzięki od razu wszystko jasne. To będzie pole okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ \left( -1,i\right)}\) ,promieniu 1 oraz kąt zawarty pomiędzy \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\)

[szw1710]

Bardziej wycinek koła otwartego. Jest mały problem z punktem \(\displaystyle{ (0,0)}\), gdyż argument zera nie jest określony. Formalnie należałoby więc wykluczyć ten punkt ze zbioru.

[a4karo]

Parę uwag do tego zadania: argument \(\displaystyle{ \mathrm{arg}}\) nie jest określony jednoznacznie, więc trudno zgadnąć o którą z wartości chodzi w zadaniu. Powinno się konsekwentnie używać FUNKCJI \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}}\), która przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ [0,2pi)}\).

Wtedy \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(-i)=3\pi/2}\), a \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(1-i)=7\pi/4}\)

Zapis \(\displaystyle{ (-1,\pi)}\) jest niepoprawny: albo \(\displaystyle{ -1+i}\) jako liczba zespolona, albo \(\displaystyle{ (-1,1)}\) jako jej naturalna interpretacja na płaszczyźnie.

A ponieważ to koło (domknięte, a nie otwarte) jest rozłączne z kątem, to przekrój jest pusty

[Dasio11]

Powinno się konsekwentnie używać FUNKCJI \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}}\), która przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ [0,2pi)}\).

A to niestety zależy od konwencji, bo równie często przyjmuje się przedział \(\displaystyle{ [-pi, pi)}\).