Może ktoś pomóc rozwiązać?
\(\displaystyle{ (\overline{z}+Imz)z=1+i}\)
równianie z postacią urojoną
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: równianie z postacią urojoną
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy, \ x,y\in \RR}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \left( \overline{z}+\mathrm{Im} z\right)z =\left( x-iy+y\right)(x+iy)=\\=x^2+y^2+xy +iy^2}\)
i przyrównanie części rzeczywistych i urojonych daje nam układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+xy+y^2=1 \\ y^2=1 \end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ y\in \left\{ -1, 1\right\}}\)
oraz
dla \(\displaystyle{ y=-1}\) musi być \(\displaystyle{ x^2-x=0}\), czyli \(\displaystyle{ x\in\left\{ 0,1\right\}}\),
zaś dla \(\displaystyle{ y=1}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^2+x=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=0 \vee x=-1}\).
Tak więc \(\displaystyle{ z=x+iy\in\left\{ -i, \ 1-i, \ i, \ -1+i\right\}}\)
Mogłem popełnić jakieś błędy rachunkowe, bo słabo liczę, ale szczerze mówiąc nie bardzo się tym przejmuję, metoda może być właśnie taka i jej zrozumienie jest zdecydowanie ważniejsze niż spisywanie rozwiązań.
Wtedy
\(\displaystyle{ \left( \overline{z}+\mathrm{Im} z\right)z =\left( x-iy+y\right)(x+iy)=\\=x^2+y^2+xy +iy^2}\)
i przyrównanie części rzeczywistych i urojonych daje nam układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+xy+y^2=1 \\ y^2=1 \end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ y\in \left\{ -1, 1\right\}}\)
oraz
dla \(\displaystyle{ y=-1}\) musi być \(\displaystyle{ x^2-x=0}\), czyli \(\displaystyle{ x\in\left\{ 0,1\right\}}\),
zaś dla \(\displaystyle{ y=1}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^2+x=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=0 \vee x=-1}\).
Tak więc \(\displaystyle{ z=x+iy\in\left\{ -i, \ 1-i, \ i, \ -1+i\right\}}\)
Mogłem popełnić jakieś błędy rachunkowe, bo słabo liczę, ale szczerze mówiąc nie bardzo się tym przejmuję, metoda może być właśnie taka i jej zrozumienie jest zdecydowanie ważniejsze niż spisywanie rozwiązań.