kwadrat liczby zespolonej

[paweeeee191+]

Czy może ktoś wytłumaczyć dlaczego rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ z^{2}-i=0}\) jest
\(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{-1}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-1}}\)

[Premislav]

Bardzo nie polecam zapisu typu \(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{-1}}\) itd. (czasami używa się tego rodzaju zapisu w algebrze abstrakcyjnej, ale uważam, że poza tym to trochę w złym guście).
\(\displaystyle{ z^2=i \Leftrightarrow z^2=\cos\left( \frac{\pi}{2}+2k\pi\right) +i\sin\left( \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}\)
a stąd i ze wzoru de Moivre'a (oczywiście moduł obu liczb jest równy \(\displaystyle{ 1}\))
\(\displaystyle{ z=\cos\left( \frac \pi 4+k\pi\right) +i\sin\left( \frac \pi 4+k\pi\right), \ k \in \left\{ 0, 1\right\}}\)
tj.
\(\displaystyle{ z=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} \vee z=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}}\)

[Janusz Tracz]

Sposób bezpośrednio powiązany ze sposobem Premislav choć wart uwagi z pewnych względów to sposób geometryczny. Zauważyć można że pierwiastki leżą na okręgu jednostkowym a ich kwadrat ma dać \(\displaystyle{ i}\) więc pierwiastki te mają argument \(\displaystyle{ \frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}}\) oraz leżący "naprzeciw" w symetrii \(\displaystyle{ (0,0)}\) pierwiastek \(\displaystyle{ 180^{\circ}+45^{\circ}}\). Stąd mamy spodziewane rozwiązania

\(\displaystyle{ z=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} \vee z=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}}\)

bo to zobaczyć można skorzystać z postaci trygonometrycznej albo z tw Pitagorasa.