Przedstawić wzory na płaszczyżnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 64 razy

Przedstawić wzory na płaszczyżnie zespolonej

Post autor: Big_Boss1997 »

Dzień dobry. Chciałem zapytać, czy poprawnie robię to zadanie:

1) \(\displaystyle{ \left\{ z \in \CC : \left| z - 1\right| = \left| z + 1\right| \right\}}\)

Z tego wzoru wychodzi, że \(\displaystyle{ \Re \left( z \right) = 0}\) i \(\displaystyle{ \Im \left( z \right) = 0}\). Wtedy to będzie po prostu jeden punkt na płaszczyżnie - \(\displaystyle{ \left( 0, 0\right)}\)?

2) \(\displaystyle{ \left\{ z \in \CC : \frac{ \pi }{6} \le arg \left( a - bi + i \right) \le \pi\right\}}\).

\(\displaystyle{ z = a - bi + i = a + i \left( 1 - b \right)}\)

Najpierw: \(\displaystyle{ arg \left( a - bi + i \right) \le \pi}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( \pi \right) = \frac{ \left( 1 - b \right) ^{2} }{ a^{2} + \left( 1 - b \right) ^{2} } \Rightarrow b = 1}\)

Dalej: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} \le arg \left( a - bi + i \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{ \pi }{6} \right) = \frac{a}{ \sqrt{ a^{2} + \left( 1 - b \right) ^{2} } } = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{6} \right) = \frac{ \left( 1 - b \right) }{ \sqrt{ a^{2} + \left( 1 - b \right) ^{2} } } = \frac{ \sqrt{3} }{2}\Rightarrow \frac{a}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{ \left( 1 - b \right) }{ \frac{1}{2} } \Rightarrow a = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot b}\). Jeżeli \(\displaystyle{ b = 1 \Rightarrow a = 0}\). Wtedy znowu zostaje tylko jeden punkt?
Ostatnio zmieniony 17 cze 2018, o 20:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Re: Przedstawić wzory na płaszczyżnie zespolonej

Post autor: squared »

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \left| z - 1\right| = \left| z + 1\right| \Leftrightarrow (x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2 \iff (x-1)^2 = (x+1)^2 \iff |x-1|=|x+1|}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x \geq 1}\) to mamy:

\(\displaystyle{ x-1=x+1 \rightarrow
\text{sprz.}}\)


Jeśli \(\displaystyle{ x< -1}\) to mamy:
\(\displaystyle{ -x+1=-x-1 \rightarrow \text{sprz.}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ xin [-1,1)}\) to mamy:
\(\displaystyle{ -x+1=x+1 \Leftrightarrow x=0}\).

otrzymujemy, więc:

\(\displaystyle{ \left\{ z \in \CC : \left| z - 1\right| = \left| z + 1\right| \right\} =\left\{ z \in \CC : \Re z = 0 \right\}}\).

Nie wiem, czemu narzucasz coś na \(\displaystyle{ \Im}\).
ODPOWIEDZ