Lemat - trójkąt

[mol_ksiazkowy]

Dane są trzy liczby zespolone oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z_1|= a \\ |z_2|= b \\ |z_3|= c\end{cases}}\)
oraz istnieją \(\displaystyle{ 0 < \alpha, \beta < 2 \pi}\) takie, że \(\displaystyle{ z_1+ e^{i \alpha}z_2 + e^{i \beta}z_3 =0}\).
Udowodnić, że istnieje trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\)

[bartek118]

Trzeba wykazać nierówność trójkąta. Przykładowo
\(\displaystyle{ |z_1 + e^{i\alpha} z_2| = |z_3| = c.}\)
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ |z_1 + e^{i\alpha} z_2| \leq |z_1| + |z_2| = a + b.}\)

[Dasio11]

Udowodnić, że istnieje trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\)

Można jawnie wskazać ten trójkąt, mianowicie taki o wierzchołkach \(\displaystyle{ 0, z_1, z_1 + e^{i \alpha} z_2.}\) Trzeba jednak zaznaczyć, że można tak dobrać \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3,}\) żeby ten trójkąt (i każdy inny o bokach \(\displaystyle{ a, b, c,}\)) był zdegenerowany.