Rozwiązać
\(\displaystyle{ x^3=y^2+4}\)
korzystając z własności pierścienia Gaussa \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Mogę prosić o jakieś wskazówki jak zabrać się za to zadanie?
Pierścień Gaussa
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 24 kwie 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Pierścień Gaussa
Ostatnio zmieniony 11 cze 2018, o 15:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Pierścień Gaussa
Niestety nie udało mi się zauważyć w tym zadaniu możliwości zastosowania wiedzy o pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ}\) (co nie znaczy, że takiej możliwości nie ma, pewnie po prostu coś mi umknęło), natomiast z pewnością metoda krzywych eliptycznych pozwala rozwiązać to zadanie, ale to jednak swego rodzaju armata.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Pierścień Gaussa
Poniżej przedstawiam szkic rozwiązania, część z faktów pozostawiam do samodzielnego przemyślenia.
Wyjdziemy od prostej obserwacji, że wyrażenie \(\displaystyle{ y^2+4}\) rozkłada się na \(\displaystyle{ (y+2i)(y-2i)}\) w podanym pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).
Pokażemy, że każdy z czynników jest sześcianem pewnej liczby całkowitej Gaussa. Zauważmy, że albo \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są jednocześnie parzyste albo jednocześnie nieparzyste (dlaczego?).
Załóżmy wpierw, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są nieparzyste. Wykażemy, że \(\displaystyle{ y-2i}\) oraz \(\displaystyle{ y+2i}\) są względnie pierwsze: gdyby \(\displaystyle{ d}\) było wspólnym dzielnikiem obu tych wyrażeń, \(\displaystyle{ d}\) dzieliłoby ich różnicę, tj. \(\displaystyle{ 4i}\).
Korzystając z własności normy w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), wiemy, że \(\displaystyle{ N(d)}\) musi dzielić \(\displaystyle{ N(4i)=16}\). Ponieważ \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli \(\displaystyle{ N(y+2i)}\) (dlaczego?), \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli także \(\displaystyle{ N(y+2i)=y^2+4=x^3}\) będące nieparzyste. Stąd \(\displaystyle{ N(d)=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x^3}\) jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem. Pozostaje sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) również dla przypadku parzystego (ćwiczenie).
Przy oznaczeniu \(\displaystyle{ x=a+bi}\) mamy więc po przyrównaniu odpowiednio części rzeczywistej, jak i urojonej: \(\displaystyle{ y=a(a^2-3b^2)}\) oraz \(\displaystyle{ 2=b(3a^2-b^2)}\), z równań to których możemy wyprowadzić jedyne możliwości:
\(\displaystyle{ x=2, \quad y=\pm 2}\) oraz \(\displaystyle{ x=5,\quad y=\pm 11}\).
Wyjdziemy od prostej obserwacji, że wyrażenie \(\displaystyle{ y^2+4}\) rozkłada się na \(\displaystyle{ (y+2i)(y-2i)}\) w podanym pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).
Pokażemy, że każdy z czynników jest sześcianem pewnej liczby całkowitej Gaussa. Zauważmy, że albo \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są jednocześnie parzyste albo jednocześnie nieparzyste (dlaczego?).
Załóżmy wpierw, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są nieparzyste. Wykażemy, że \(\displaystyle{ y-2i}\) oraz \(\displaystyle{ y+2i}\) są względnie pierwsze: gdyby \(\displaystyle{ d}\) było wspólnym dzielnikiem obu tych wyrażeń, \(\displaystyle{ d}\) dzieliłoby ich różnicę, tj. \(\displaystyle{ 4i}\).
Korzystając z własności normy w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), wiemy, że \(\displaystyle{ N(d)}\) musi dzielić \(\displaystyle{ N(4i)=16}\). Ponieważ \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli \(\displaystyle{ N(y+2i)}\) (dlaczego?), \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli także \(\displaystyle{ N(y+2i)=y^2+4=x^3}\) będące nieparzyste. Stąd \(\displaystyle{ N(d)=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x^3}\) jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem. Pozostaje sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) również dla przypadku parzystego (ćwiczenie).
Przy oznaczeniu \(\displaystyle{ x=a+bi}\) mamy więc po przyrównaniu odpowiednio części rzeczywistej, jak i urojonej: \(\displaystyle{ y=a(a^2-3b^2)}\) oraz \(\displaystyle{ 2=b(3a^2-b^2)}\), z równań to których możemy wyprowadzić jedyne możliwości:
\(\displaystyle{ x=2, \quad y=\pm 2}\) oraz \(\displaystyle{ x=5,\quad y=\pm 11}\).
Ostatnio zmieniony 11 cze 2018, o 21:45 przez JakimPL, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Pierścień Gaussa
Fajne podejście, wydawało mi się, że rozkład \(\displaystyle{ y^2+4=(y+2i)(y-2i)}\) nic nie daje, a jednak.
Natomiast drobna uwaga:
Natomiast drobna uwaga:
Zasugerowana teza ćwiczenia jest nieprawdziwa na przykład dla \(\displaystyle{ y=2}\).Dowód względnej pierwszości dla przypadku \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) parzystych zostawiam jako ćwiczenie.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Pierścień Gaussa
Czujne oko! Należy sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), a nie, że są względnie pierwsze (ewidentnie \(\displaystyle{ 2}\) jest wspólnym dzielnikiem).
Dla czytelności edytowałem pierwotną wiadomość.
Dla czytelności edytowałem pierwotną wiadomość.
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Re: Pierścień Gaussa
Pudło. Każdy z czynników musi być stowarzyszony z sześcianem. Dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to to samo, bo każdy element odwracalny jest sześcianem, ale nie jest tak w każdym pierścieniu liczbowym.JakimPL pisze:Stąd \(\displaystyle{ N(d)=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x^3}\) jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem.