Pierścień Gaussa

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tomek1172
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 24 kwie 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Pierścień Gaussa

Post autor: tomek1172 »

Rozwiązać
\(\displaystyle{ x^3=y^2+4}\)
korzystając z własności pierścienia Gaussa \(\displaystyle{ \ZZ}\).

Mogę prosić o jakieś wskazówki jak zabrać się za to zadanie?
Ostatnio zmieniony 11 cze 2018, o 15:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Pierścień Gaussa

Post autor: Premislav »

Niestety nie udało mi się zauważyć w tym zadaniu możliwości zastosowania wiedzy o pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ}\) (co nie znaczy, że takiej możliwości nie ma, pewnie po prostu coś mi umknęło), natomiast z pewnością metoda krzywych eliptycznych pozwala rozwiązać to zadanie, ale to jednak swego rodzaju armata.
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Re: Pierścień Gaussa

Post autor: JakimPL »

Poniżej przedstawiam szkic rozwiązania, część z faktów pozostawiam do samodzielnego przemyślenia.

Wyjdziemy od prostej obserwacji, że wyrażenie \(\displaystyle{ y^2+4}\) rozkłada się na \(\displaystyle{ (y+2i)(y-2i)}\) w podanym pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).

Pokażemy, że każdy z czynników jest sześcianem pewnej liczby całkowitej Gaussa. Zauważmy, że albo \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są jednocześnie parzyste albo jednocześnie nieparzyste (dlaczego?).

Załóżmy wpierw, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są nieparzyste. Wykażemy, że \(\displaystyle{ y-2i}\) oraz \(\displaystyle{ y+2i}\) są względnie pierwsze: gdyby \(\displaystyle{ d}\) było wspólnym dzielnikiem obu tych wyrażeń, \(\displaystyle{ d}\) dzieliłoby ich różnicę, tj. \(\displaystyle{ 4i}\).

Korzystając z własności normy w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), wiemy, że \(\displaystyle{ N(d)}\) musi dzielić \(\displaystyle{ N(4i)=16}\). Ponieważ \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli \(\displaystyle{ N(y+2i)}\) (dlaczego?), \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli także \(\displaystyle{ N(y+2i)=y^2+4=x^3}\) będące nieparzyste. Stąd \(\displaystyle{ N(d)=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x^3}\) jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem. Pozostaje sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) również dla przypadku parzystego (ćwiczenie).

Przy oznaczeniu \(\displaystyle{ x=a+bi}\) mamy więc po przyrównaniu odpowiednio części rzeczywistej, jak i urojonej: \(\displaystyle{ y=a(a^2-3b^2)}\) oraz \(\displaystyle{ 2=b(3a^2-b^2)}\), z równań to których możemy wyprowadzić jedyne możliwości:

\(\displaystyle{ x=2, \quad y=\pm 2}\) oraz \(\displaystyle{ x=5,\quad y=\pm 11}\).
Ostatnio zmieniony 11 cze 2018, o 21:45 przez JakimPL, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Pierścień Gaussa

Post autor: Premislav »

Fajne podejście, wydawało mi się, że rozkład \(\displaystyle{ y^2+4=(y+2i)(y-2i)}\) nic nie daje, a jednak.

Natomiast drobna uwaga:
Dowód względnej pierwszości dla przypadku \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) parzystych zostawiam jako ćwiczenie.
Zasugerowana teza ćwiczenia jest nieprawdziwa na przykład dla \(\displaystyle{ y=2}\).
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Re: Pierścień Gaussa

Post autor: JakimPL »

Czujne oko! Należy sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), a nie, że są względnie pierwsze (ewidentnie \(\displaystyle{ 2}\) jest wspólnym dzielnikiem).

Dla czytelności edytowałem pierwotną wiadomość.
Kaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Pierścień Gaussa

Post autor: Kaf »

JakimPL pisze:Stąd \(\displaystyle{ N(d)=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x^3}\) jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem.
Pudło. Każdy z czynników musi być stowarzyszony z sześcianem. Dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to to samo, bo każdy element odwracalny jest sześcianem, ale nie jest tak w każdym pierścieniu liczbowym.
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Re: Pierścień Gaussa

Post autor: JakimPL »

Zgadza się; przypominam, że jest to jedynie szkic - diabeł tkwi w szczegółach.
ODPOWIEDZ