Rozwiąż równanie ...

[CzarQ]

wiedząc, że \(\displaystyle{ z_0= \frac{(-2+2i)^{14}}{( \sqrt{3}-i)^{18} }}\) jest pierwiastkiem wielomianu\(\displaystyle{ z^3+5iz^2+28z+32i=0}\) . Oblicz pozostałe.

[Janusz Tracz]

Podstawianie \(\displaystyle{ z=iw}\) zamii ten wielomian o współczynnikach zespolonych na wielomian o współczynnikach rzeczywistych którego pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ w_0= \frac{z_0}{i}}\). Można teraz powołać się na tw Cauchego stwierdzając że sprzężenie \(\displaystyle{ w_0}\) też jest pierwiastkiem. To jednak nie daje całości rozwiązania więc może i tak najwygodniej to podzielić za pomocą standardowego algorytmu dzielenia wielomianów.

[CzarQ]

a jesli zamieinie Zo na postac wykladnicza otrzymam \(\displaystyle{ 2^3e^{i \frac{3}{2}\pi}\) ?

[Janusz Tracz]

Tak. \(\displaystyle{ z_0=2^3e^{i \frac{3}{2}\pi}=-8i}\) Jeśli teraz wykonamy podstawianie \(\displaystyle{ z=iw}\) to mamy do rozwiązania \(\displaystyle{ -w^3-5w^2+28w+32=0}\) przy czym wiemy że \(\displaystyle{ w_0=-8}\) inne pierwiastki łatwo zgadnąć z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, dostając że \(\displaystyle{ w_1=-1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2=4}\) co w kontekście zmiennej \(\displaystyle{ z}\) oznacza ze pozostałymi miejscami zerowymi są \(\displaystyle{ z_1=-i}\) oraz \(\displaystyle{ z_2=4i}\). Można się zawsze sprawdzić i policzyć \(\displaystyle{ (z+8i)(z+i)(z-4i)=0}\)