Oblicz całke

[gabi2016]

\(\displaystyle{ I= \int_{C}Re(z^2)dz}\),
gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest odcinkiem łączącym punkty \(\displaystyle{ z_1 = i}\) oraz \(\displaystyle{ z_2 = 2 + i}\), sparametryzowanym w kierunku od punktu \(\displaystyle{ z_1}\) do punktu \(\displaystyle{ z_2}\).

[Janusz Tracz]

Zacznij od parametryzacji odcinka \(\displaystyle{ z(t)=z_1+t(z_2-z_1)}\) dla \(\displaystyle{ t\in\left[ 0,1\right]}\). Taką parametryzacje podstaw do \(\displaystyle{ \Re (z^2)}\) i oblicz ile jawnie wynosi ta część rzeczywista. Trzeba jeszcze tylko wyznaczyć \(\displaystyle{ \mbox{d}z=(z_2-z_1) \mbox{d}t}\) i można liczyć całkę.

\(\displaystyle{ \int_{C}\Re(z^2) \mbox{d}z= \int_{0}^{1}\Re\left( z^2(t)\right)(z_2-z_1) \mbox{d}t}\)