Równanie liczb zespolonych

[paweltbg81]

Cześć
jak można rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ \sin z = 2i}\)

[Janusz Tracz]

Z zespolonej definicji \(\displaystyle{ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\). Podstaw \(\displaystyle{ t=e^{iz}}\) i rozwiąż odpowiednie równanie kwadratowe, potem logarytmów pamiętając o tym że \(\displaystyle{ e^{iz}=e^{iz+2k \pi }}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ z = a +ib.}\)

\(\displaystyle{ \sin(z) =\sin(a+ib)=\sin(a)\cos(ib)+\cos(a)\sin(ib)=sin(a)\cosh(b)+i \cos(a)\sinh(b)=\\ =0+ 2i}\)

Porównując część rzeczywistą i urojoną równania otrzymujemy układ dwóch równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(a)\cosh(b) = 0 \\ cos(a)\sinh(b) = 2 \end{cases}}\)

Proszę rozwiązać ten układ równań.

Wskazówka:

Z równania pierwszego układu: \(\displaystyle{ \cosh (b) \neq 0, \ \ \sin(a) = 0, \ \ a = n\pi, \ \ n\in \ZZ.}\)

wstawiamy do równania drugiego:

\(\displaystyle{ \cos(n\pi)\sinh(b) = 2, \ \ (-1)^{n}\sinh(b) = 2, \ \ b = ...}\)