Cześć
jak można rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ \sin z = 2i}\)
Równanie liczb zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 29 maja 2018, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
Równanie liczb zespolonych
Ostatnio zmieniony 30 maja 2018, o 20:49 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równanie liczb zespolonych
Z zespolonej definicji \(\displaystyle{ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\). Podstaw \(\displaystyle{ t=e^{iz}}\) i rozwiąż odpowiednie równanie kwadratowe, potem logarytmów pamiętając o tym że \(\displaystyle{ e^{iz}=e^{iz+2k \pi }}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Równanie liczb zespolonych
\(\displaystyle{ z = a +ib.}\)
\(\displaystyle{ \sin(z) =\sin(a+ib)=\sin(a)\cos(ib)+\cos(a)\sin(ib)=sin(a)\cosh(b)+i \cos(a)\sinh(b)=\\ =0+ 2i}\)
Porównując część rzeczywistą i urojoną równania otrzymujemy układ dwóch równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(a)\cosh(b) = 0 \\ cos(a)\sinh(b) = 2 \end{cases}}\)
Proszę rozwiązać ten układ równań.
Wskazówka:
Z równania pierwszego układu: \(\displaystyle{ \cosh (b) \neq 0, \ \ \sin(a) = 0, \ \ a = n\pi, \ \ n\in \ZZ.}\)
wstawiamy do równania drugiego:
\(\displaystyle{ \cos(n\pi)\sinh(b) = 2, \ \ (-1)^{n}\sinh(b) = 2, \ \ b = ...}\)
\(\displaystyle{ \sin(z) =\sin(a+ib)=\sin(a)\cos(ib)+\cos(a)\sin(ib)=sin(a)\cosh(b)+i \cos(a)\sinh(b)=\\ =0+ 2i}\)
Porównując część rzeczywistą i urojoną równania otrzymujemy układ dwóch równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(a)\cosh(b) = 0 \\ cos(a)\sinh(b) = 2 \end{cases}}\)
Proszę rozwiązać ten układ równań.
Wskazówka:
Z równania pierwszego układu: \(\displaystyle{ \cosh (b) \neq 0, \ \ \sin(a) = 0, \ \ a = n\pi, \ \ n\in \ZZ.}\)
wstawiamy do równania drugiego:
\(\displaystyle{ \cos(n\pi)\sinh(b) = 2, \ \ (-1)^{n}\sinh(b) = 2, \ \ b = ...}\)