Homografia i przekształcenie zbioru

[Citizen]

Witam, bardzo proszę o podpowiedzi rozwiązań 2 następujących zadań:

1) Znaleźć punkty stałe homografii \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-1}}\).
Więc tak naprawdę należy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ h(z)=z}\).

Nie mogę znaleźć żadnego sprytnego sposobu, a pałowanie podstawiając \(\displaystyle{ z=a+bi}\) prowadzi do skomplikowanych równań 4 rzędu, które nie chcą dać się rozwiązać zwykłymi metodami.

2) Znaleźć obraz okręgu \(\displaystyle{ |z|=2}\) przez homografię \(\displaystyle{ \frac{z-2i}{1-z}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Premislav]

1) A to nie jest jakieś tam trywialne?
Łatwo widać, że \(\displaystyle{ z\neq 1}\), dalej
\(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-1} =z \Leftrightarrow z+i=z^2-z \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow z^2-2z=i \Leftrightarrow (z-1)^2=1+i \Leftrightarrow z-1=-\sqrt[4]{2}e^{i\frac \pi 8}\vee z-1=\sqrt[4]{2}e^{i\frac \pi 8}}\)
itd. Ogólnie polecam postać wykładniczą.

Ale może na to też są jakieś ogólne twierdzonka, ja nie pamiętam.

2) Jak powiedział wybitny Polak, a to ja nie wiem, ale zdaje się na Funkcjach Analitycznych była na to jakaś metoda, tylko że już zdążyłem zapomnieć. W dostępnej w necie książce Asha i Novingera Complex Variables () jest rozdzialik poświęcony homografiom, może tam warto sprawdzić. Jakoś w okolicach 4.4-4.6.
Jak tam nic przydatnego nie znajdziesz, to zawsze pozostaje pałczing \(\displaystyle{ z=2e^{i\varphi}}\).
Ogólnie to jest dobra książka, tylko że zawsze jak czytałem primitive function, to przerywałem naukę i zaczynałem sobie nucić smętną głupawą piosenkę Annie Lennox o tytule Primitive, co bardzo przeszkadzało w nabywaniu wiedzy, więc się przerzuciłem na książkę pana Lei, która nie budziła takich skojarzeń.

[Citizen]

1) Ano wygląda na to, że jest

2) Dzięki, zajrzę do książki i zachęcony dygresją posłucham piosenki.


Edit:

Teraz widzę, że źle przepisałem pierwsze zadanie miała być funkcja \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}}\)