Witam, proszę o wskazówki rozwiązania następującego zadania:
Dane są liczby zespolone \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}}\), których moduły są równe 1 oraz \(\displaystyle{ z_{1}z_{2} \neq -1}\).
Pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1}z_{2}}}\) jest rzeczywista.
Przedstawiając liczby na płaszczyźnie zespolonej i sumując odpowiednie wektory widać, że ten iloraz będzie równy 1. Chciałbym jednak bardziej oficjalne rozwiązanie, męczę się przedstawiając te liczby w postaci wykładniczej ale nie mogę dojść do postawionej tezy.
Wszelka pomoc mile widziana
Iloraz wyrażeń zespolonych jest rzeczywisty
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Iloraz wyrażeń zespolonych jest rzeczywisty
Pewnie istnieje jakieś magiczne rozwiązanie, ale wystarczy zapisać \(\displaystyle{ z_1=e^{ix}, \ z_2=e^{iy}}\) i pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1+e^{-i(x+y)}}{1+e^{-i(x+y)}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 4 sty 2017, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
Iloraz wyrażeń zespolonych jest rzeczywisty
\(\displaystyle{ \frac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}= \frac{z_1}{1+z_1z_2}+ \frac{z_2}{1+z_1z_2} = \frac{1}{ \frac{1}{z_1}+z_2 }+\frac{1}{ \frac{1}{z_2}+z_1 }}\)
\(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}=\left| z\right|^2}\)
\(\displaystyle{ \overline{z_2}\cdot\overline{z_1}=\overline{z_2z_1}}\)
\(\displaystyle{ \Im{(\overline{z}+z)}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{z_1}+z_2 }+\frac{1}{ \frac{1}{z_2}+z_1 }= \frac{1}{\overline{z_1}+z_2}+\frac{1}{\overline{z_2}+z_1}= \frac{\overline{z_2}+z_1+\overline{z_1}+z_2}{\overline{z_1}\overline{z_2}+z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}+z_1z_2}\in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}=\left| z\right|^2}\)
\(\displaystyle{ \overline{z_2}\cdot\overline{z_1}=\overline{z_2z_1}}\)
\(\displaystyle{ \Im{(\overline{z}+z)}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{z_1}+z_2 }+\frac{1}{ \frac{1}{z_2}+z_1 }= \frac{1}{\overline{z_1}+z_2}+\frac{1}{\overline{z_2}+z_1}= \frac{\overline{z_2}+z_1+\overline{z_1}+z_2}{\overline{z_1}\overline{z_2}+z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}+z_1z_2}\in \mathbb{R}}\)