Potęgi z tangensem

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Potęgi z tangensem

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{4i} \sum_{\substack{k=1 \\ NWD \left( k,n \right) =1}}^{4n} i^k \tg \left( \frac{k \pi}{4n} \right)}\) jest liczbą całkowitą gdy \(\displaystyle{ n>1}\)
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 25 mar 2018, o 12:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Potęgi z tangensem

Post autor: Premislav »

Jak się człowiek dobrze skoncentruje, to sobie przypomni, że parę lat temu był na forum wspomniany taki oto wzór:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n-1} \tan\left(\theta +\frac{k\pi}{n}\right)=-n\ctg \left(\frac{n\pi}{2}+n\theta\right)}\)
(jest to jakaś metoda dla ludzi, którzy mają lepszą pamięć niż umiejętność rozumowania, jak np. ja, I cri evrytiem).
Tutaj można znaleźć wyprowadzenie: ... tic-series

Podejrzewam, że wystarczy odpowiednio sprytnie pogrupować (np. po jakieś modulo \(\displaystyle{ 4}\)) i skorzystać z tego wzoru. Problem w tym, że strasznie nie chce mi się tego robić.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Potęgi z tangensem

Post autor: Premislav »

Jednak ten wzór za wiele nie daje, ponieważ nie bardzo widać, jak tu pogrupować tak, żeby te \(\displaystyle{ i^k}\) nie przeszkadzały, sorry, defekuję se do gęby na śniadanie i kolację i w ten sposób przenośną mam ubikację.
Moim zdaniem można tu skorzystać z pewnej własności funkcji Möbiusa, która jest podana nawet na wiki w artykule o tejże funkcji, tylko trzeba sporo pokombinować, a teraz nie mam na to czasu.
ODPOWIEDZ