Ukryta treść:
Potęgi z tangensem
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Potęgi z tangensem
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{4i} \sum_{\substack{k=1 \\ NWD \left( k,n \right) =1}}^{4n} i^k \tg \left( \frac{k \pi}{4n} \right)}\) jest liczbą całkowitą gdy \(\displaystyle{ n>1}\)
Ostatnio zmieniony 25 mar 2018, o 12:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Potęgi z tangensem
Jak się człowiek dobrze skoncentruje, to sobie przypomni, że parę lat temu był na forum wspomniany taki oto wzór:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n-1} \tan\left(\theta +\frac{k\pi}{n}\right)=-n\ctg \left(\frac{n\pi}{2}+n\theta\right)}\)
(jest to jakaś metoda dla ludzi, którzy mają lepszą pamięć niż umiejętność rozumowania, jak np. ja, I cri evrytiem).
Tutaj można znaleźć wyprowadzenie: ... tic-series
Podejrzewam, że wystarczy odpowiednio sprytnie pogrupować (np. po jakieś modulo \(\displaystyle{ 4}\)) i skorzystać z tego wzoru. Problem w tym, że strasznie nie chce mi się tego robić.
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n-1} \tan\left(\theta +\frac{k\pi}{n}\right)=-n\ctg \left(\frac{n\pi}{2}+n\theta\right)}\)
(jest to jakaś metoda dla ludzi, którzy mają lepszą pamięć niż umiejętność rozumowania, jak np. ja, I cri evrytiem).
Tutaj można znaleźć wyprowadzenie: ... tic-series
Podejrzewam, że wystarczy odpowiednio sprytnie pogrupować (np. po jakieś modulo \(\displaystyle{ 4}\)) i skorzystać z tego wzoru. Problem w tym, że strasznie nie chce mi się tego robić.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Potęgi z tangensem
Jednak ten wzór za wiele nie daje, ponieważ nie bardzo widać, jak tu pogrupować tak, żeby te \(\displaystyle{ i^k}\) nie przeszkadzały, sorry, defekuję se do gęby na śniadanie i kolację i w ten sposób przenośną mam ubikację.
Moim zdaniem można tu skorzystać z pewnej własności funkcji Möbiusa, która jest podana nawet na wiki w artykule o tejże funkcji, tylko trzeba sporo pokombinować, a teraz nie mam na to czasu.
Moim zdaniem można tu skorzystać z pewnej własności funkcji Möbiusa, która jest podana nawet na wiki w artykule o tejże funkcji, tylko trzeba sporo pokombinować, a teraz nie mam na to czasu.