Rownanie liczby zespolone

[spejson_]

Jak rozwiazac takie rownanie:
\(\displaystyle{ z^{11} = \overline{z}}\)
albo takie:
\(\displaystyle{ |z|^9=-z^6}\)

Co do pierwszego to wydaje mi sie ze pomocna moze byc postac wykladnicza l zespolonej i moze wlasnosc \(\displaystyle{ |z|^2=\overline{z}*z}\)

[Premislav]

Dobrze Ci się wydaje. W ogóle w takich zadaniach postać wykładnicza fajnie się sprawdza.

\(\displaystyle{ z^{11}=\overline z}\)
Kładziemy \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), wówczas
\(\displaystyle{ z^{11}=r^{11}e^{i\cdot 11\varphi}}\)
oraz \(\displaystyle{ \overline z=re^{-i\varphi}}\) i przyrównanie tych wyrażeń (a dokładniej ich argumentów, biorąc pod uwagę okresowość, oraz modułów) daje nam taki oto układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{11}=r \\ 11\varphi=-\varphi+2k\pi, \ k \in \ZZ \end{cases}}\)
przy czym \(\displaystyle{ r \in \RR^+}\) (łącznie z zerem).

[spejson_]

Dobrze Ci się wydaje. W ogóle w takich zadaniach postać wykładnicza fajnie się sprawdza.

\(\displaystyle{ z^{11}=\overline z}\)
Kładziemy \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), wówczas
\(\displaystyle{ z^{11}=r^{11}e^{i\cdot 11\varphi}}\)
oraz \(\displaystyle{ \overline z=re^{-i\varphi}}\) i przyrównanie tych wyrażeń (a dokładniej ich argumentów, biorąc pod uwagę okresowość, oraz modułów) daje nam taki oto układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{11}=r \\ 11\varphi=-\varphi+2k\pi, \ k \in \ZZ \end{cases}}\)
przy czym \(\displaystyle{ r \in \RR^+}\)

Czy ten 2 przykladm mam zrobic tak \(\displaystyle{ |z|^9=-|z|^6 \cdot e^{6i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z|^9=|z|^6 \\ 6\varphi=0+2k\pi, \ k \in \ZZ \end{cases}}\)
?

[Benny01]

Skąd nagle po prawej stronie to \(\displaystyle{ e^{6i \phi}}\)?
Zapisz sobie, że \(\displaystyle{ -1=1 \cdot e^{i \pi}}\)

[spejson_]

Skąd nagle po prawej stronie to \(\displaystyle{ e^{6i \phi}}\)?
Zapisz sobie, że \(\displaystyle{ -1=1 \cdot e^{i \pi}}\)

czyli to drugie rownanie w ukladzie to: \(\displaystyle{ e^{i\pi} = e^{6i\phi}}\) ?