Interesujący problem przy równaniu czwartego stopnia

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 247
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Interesujący problem przy równaniu czwartego stopnia

Post autor: Borneq »

Potrafię rozwiązywać wszystkie równania 2-go i 3-go stopnia z zespolonymi współczynnikami. Z czwartym było źle, ale znalazłem metodę gdzie rozkłada się takie równanie na iloczyn dwóch drugiego stopnia.
Jest to opisane w "Solution of cubic and quartic equations" - S.Neumark.
Dla \(\displaystyle{ Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E}\)
Rozwiązuję najpierw sześcienne: \(\displaystyle{ 1 -2Cx^2+ (C^2 + BD - 4AE)x -(BCD - BBE - ADD)}\)
potem wybieram \(\displaystyle{ y}\) - dowolny (jak później się okaże, nie całkiem dowolny) pierwiastek.
liczę: \(\displaystyle{ den = \sqrt{B^2-4Ay}}\)
\(\displaystyle{ G =\frac{B + den}{2}}\)
\(\displaystyle{ g =\frac{B - den}{2}}\)
\(\displaystyle{ H = \frac{C - y}{2} + \frac{B \cdot (C - y) - 2 \cdot A \cdot D}{2 \cdot den}}\)
\(\displaystyle{ H = \frac{C - y}{2} - \frac{B \cdot (C - y) - 2 \cdot A \cdot D}{2 \cdot den}}\)
Inaczej liczę podwójne kwadratowe dla \(\displaystyle{ B=D=0}\) .
Ale tak w \(\displaystyle{ 100}\) przypadkach na milion, gdzie losuję współczynniki od \(\displaystyle{ -2}\) do \(\displaystyle{ 2}\) co \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) jest źle.
Okazuje się że gdy wybiorę zamiast pierwszego drugi lub trzeci pierwiastek zaczyna być dobrze.
Jest źle gdy albo rzeczywista lub urojona część jest zerowa, albo któreś jest \(\displaystyle{ 0,5}\) , a któreś \(\displaystyle{ 0,25}\) .

Mam przykłady:

Kod: Zaznacz cały

-0.50, -0.50
-0.50, 0.00
-0.50, 0.25
-0.50, 0.50
-0.25, -0.25
-0.25, -0.50
-0.25, 0.00
-0.25, 0.25
0.00, -0.25
0.00, -0.50
0.00, -1.00
0.00, 0.25
0.00, 0.50
0.25, -0.25
0.25, -0.50
0.25, 0.00
0.25, 0.25
0.25, 0.50
0.50, -0.25
0.50, 0.00
0.50, 0.50
1.00, 0.00
Czy jest możliwe że więcej niż 1 pierwiastek jednocześnie będzie zły?-- 20 mar 2018, o 01:25 --Rozwiązanie:
nie patrzymy tyle na pierwiastki \(\displaystyle{ y_i}\), ale na \(\displaystyle{ B^2-4Ay_i}\)
trzeba z trzech pierwiastków wybrać ten, dla którego moduł\(\displaystyle{ B^2-4Ay_i}\) jest największy. Gdy wszystkie są małe - mamy jeden pierwiastek poczwórny.
Ostatnio zmieniony 19 mar 2018, o 22:03 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
ODPOWIEDZ