Równanie zespolone

[n3r0]

Witam. Mam do zrobienia równania zespolone i nie mam pojęcia jak przez nie przebrnąć. Oto one:
1. \(\displaystyle{ \left|z\right| + \vec{z^2} = 1}\)
Tutaj strzałka oznacza sprzężenie.
2. \(\displaystyle{ \left(z-1\right)^4 = \left(1-i\right)^4}\)
Tutaj wyznaczyłem wynik 'prawej strony', który jest równy \(\displaystyle{ -4}\), ale nie wiem co dalej.
I jeszcze jak przedstawić to w postaci algebraicznej?
3. \(\displaystyle{ 1 + \frac{i+\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{i+\sqrt{3}}{2}\right)^2 + ... + \left(\frac{i +\sqrt{3}}{2}\right)^{13}}\)
Z góry dziękuję za pomoc.

[bakala12]

1. Wstaw \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i policz co wyjdzie.
2. Wszystko na jedną stronę i porozkładaj wzorami skróconego mnożenia.
3. Wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.

[a4karo]

1) zauważ, że \(\displaystyle{ {\overline{z}}^2}\) jest liczbą rzeczywistą, zatem \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest czysto urojona, więc \(\displaystyle{ z=ai}\). Wylicz \(\displaystyle{ a}\)

3. Wsk \(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^3=i}\)