Zespolone pierwiastki z jedności stopnia n różne od 1

[adda16]

Niech \(\displaystyle{ n \ge 1}\) i \(\displaystyle{ u_1,u_2,...,u_n}\) oznaczają wszystkie zespolone pierwiastki z jedności stopnia \(\displaystyle{ n+1}\) różne od \(\displaystyle{ 1}\).
a) Znajdź wielomian \(\displaystyle{ f \in \mathbb{R}[x]}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) taki, że \(\displaystyle{ f(u_k)=0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n}\) .
b) Oblicz część rzeczywistą i urojoną iloczynu \(\displaystyle{ (2-u_1) \cdot (2-u_2) \cdot ... \cdot (2 - u_n)}\) .

Nie mam pojęcia jak to zrobić.

[Premislav]

Elo elo 320

a)
Te pierwiastki są postaci \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\), tj. wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ n+1}\). stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) różne od \(\displaystyle{ 1}\), a wszakże z Bezouta (wielokrotnie) mamy
\(\displaystyle{ z^{n+1}-1= \prod_{k=0}^{n} \left( z-\left( \cos\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right)\right) \right)}\),
jak to wydzielimy przez \(\displaystyle{ z-1=z-\left( \cos \left( \frac{2\cdot 0}{n+1}\right)+i\sin \left( \frac{2\cdot 0}{n+1}\right) \right)}\) (wzór na różnicę n-tych potęg ze szkoły średniej), to
otrzymamy \(\displaystyle{ z^{n}+z^{n-1}+\ldots+z+1}\) i to jest nasz szukany wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\).

b)
Niech
\(\displaystyle{ f(z)=(z-u_1) \cdot (z-u_2) \cdot ... \cdot (z - u_n)=z^n+z^{n-1}+\ldots +z+1}\)
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ f(2)=2^n+2^{n-1}+\ldots+2+1=2^{n+1}-1}\). Wnioski?

[adda16]

Dzięki. Wielomian miał być \(\displaystyle{ f(u_k)}\), a jest \(\displaystyle{ f(z)}\). Nie do końca rozumiem czym jest to \(\displaystyle{ z}\).

W b) \(\displaystyle{ Re = 2^{n+1}-1}\) i \(\displaystyle{ Im = 0}\)?

[Premislav]

\(\displaystyle{ f(z)}\) to właśnie taki wielomian zmiennej zespolonej stopnia \(\displaystyle{ n}\), że jak podstawimy \(\displaystyle{ z=u_k}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\), to otrzymamy zero, czyli w myśl wywodu z a) jest
\(\displaystyle{ f(z)=(z-u_1)(z-u_2)\ldots(z-u_k)}\).
Co do b), jasne, zgadza się. Tylko taka kosmetyczna uwaga, że \(\displaystyle{ \Re}\) i \(\displaystyle{ \mathrm{Im}}\) są funkcjami, więc pisanie np. \(\displaystyle{ \Re}\) bez niczego średnio ma sens.
\(\displaystyle{ \Re\left( (2-u_1)(2-u_2)\ldots(2-u_n)\right) =2^{n+1}-1}\) itd.