Witam.
Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać poniższe równanie? Przypuszczam, że trzeba jakoś zadziałać logarytmem naturalnym, ale nie do końca wiem co dalej z tym zrobić.
\(\displaystyle{ z^{2} = \Pi ^{(e^{i})}}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Liczby zespolone - równanie. Postac wykładnicza.
-
Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Liczby zespolone - równanie. Postac wykładnicza.
\(\displaystyle{ z^2= \pi ^{e^{i}}}\)
\(\displaystyle{ 2\ln z=e^{i}\ln\pi}\)
\(\displaystyle{ e^{i}=\frac{2 \ln z}{\ln \pi}}\)
\(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x + i \sin x}\)
\(\displaystyle{ (\frac{2 \ln z}{\ln \pi})^{x}=\cos x + i \sin x}\)
\(\displaystyle{ \frac{2 \ln z}{\ln \pi}= \sqrt[x]{\cos x + i \sin x}}\)
\(\displaystyle{ \ln z = \sqrt[x]{\cos x + i \sin x} \cdot (\ln \pi ) \cdot \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=e^{\sqrt[x]{\cos x + i \sin x} \cdot (\ln \pi ) \cdot \frac{1}{2}}}\)
z wyjściowego bezpośrednio
\(\displaystyle{ z= \pi ^{ \frac{e^{i}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ z= -\pi ^{ \frac{e^{i}}{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ e^{\sqrt[x]{\cos x + i \sin x} \cdot (\ln \pi ) \cdot \frac{1}{2}}= \pm \pi ^{ \frac{e^{i}}{2}}\)
Znajdź \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ 2\ln z=e^{i}\ln\pi}\)
\(\displaystyle{ e^{i}=\frac{2 \ln z}{\ln \pi}}\)
\(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x + i \sin x}\)
\(\displaystyle{ (\frac{2 \ln z}{\ln \pi})^{x}=\cos x + i \sin x}\)
\(\displaystyle{ \frac{2 \ln z}{\ln \pi}= \sqrt[x]{\cos x + i \sin x}}\)
\(\displaystyle{ \ln z = \sqrt[x]{\cos x + i \sin x} \cdot (\ln \pi ) \cdot \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=e^{\sqrt[x]{\cos x + i \sin x} \cdot (\ln \pi ) \cdot \frac{1}{2}}}\)
z wyjściowego bezpośrednio
\(\displaystyle{ z= \pi ^{ \frac{e^{i}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ z= -\pi ^{ \frac{e^{i}}{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ e^{\sqrt[x]{\cos x + i \sin x} \cdot (\ln \pi ) \cdot \frac{1}{2}}= \pm \pi ^{ \frac{e^{i}}{2}}\)
Znajdź \(\displaystyle{ x}\)