Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
mam taki przykład gdzie muszę przedstawić rozwiązanie w postaci trygonometrycznej i w postaci kartezjańskiej \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8/i}}\) Wychodzą mi jakieś dziwne wyniki ale niby prawdziwe tylko że to polecenie z jednego zadania jako podpunkt i mi się wydaję że aż tak długo go się nie powinno rozwiązywać . Ktoś dałby radę ?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
Zapisujemy standardowo w postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ \frac{8}{i}=-8i=8\left( \cos\left( - \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right) +i\sin\left( - \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right)\right)}\) A następnie korzystamy ze wzoru de Moivre'a. Dostając
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{8}{i}}=2\left( \cos\left( - \frac{ \pi }{6}+ \frac{2k \pi}{3} \right) +i\sin\left( - \frac{ \pi }{6}+\frac{2k \pi}{3} \right)\right)}\)
Teraz kładąc kolejno \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) dostajemy kolejne rozwiązania w postaci trygonometrycznej. Trochę zabawy z wzorami redukcyjnymi pozwoli zapisać te rozwiązania w postaci algebraicznej.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{8}{i}}=2\left( \cos\left( - \frac{ \pi }{6}+ \frac{2k \pi}{3} \right) +i\sin\left( - \frac{ \pi }{6}+\frac{2k \pi}{3} \right)\right)}\)
Teraz kładąc kolejno \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) dostajemy kolejne rozwiązania w postaci trygonometrycznej. Trochę zabawy z wzorami redukcyjnymi pozwoli zapisać te rozwiązania w postaci algebraicznej.
Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
Dobra wszystko ok ale jak wyliczyłeś argz kąt ten ?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
Obawiam się jednak, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}=1}\). Ten zapis jest mocno do luftu w przypadku pierwiastków zespolonych (ale taki też niestety wystąpił w treści).
Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
Ludziska skad ten kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
W dziedzinie zespolonej tego typu zapis nie powinien się kojarzyć z pierwiastkiem arytmetycznymPremislav pisze:Obawiam się jednak, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}=1}\). Ten zapis jest mocno do luftu w przypadku pierwiastków zespolonych (ale taki też niestety wystąpił w treści).
Ostatnio zmieniony 15 lut 2018, o 05:47 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Liczba zespolona pod pierwiastekiem dzielona przez i
Zauważ że \(\displaystyle{ \frac{8}{i}=-8i}\) zaznacz tą liczbę na płaszczyźnie zespolonej a dowiesz się skąd wziąłem ten kąt. Może być \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2}}\) lub \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2}}\) w zależności od której strony mierzysz kąt (czy przeciwnie z zegarem czy zgodnie)Dobra wszystko ok ale jak wyliczyłeś argz kąt ten ?