Podnoszenie do potęgi liczby zespolonej

[albertozzz]

Witam.
Zetknąłem się z pewnym zadaniem które nie wiem czy dobrze robię. Może jest tutaj ukryty jakiś haczyk i przez to nie mam pomysłu na to zadanie.
Zadanie:
\(\displaystyle{ (z-1)^{4}=(z +1) ^{4}}\)
Po obliczeniu ze wzoru na potęgi wychodzi mi \(\displaystyle{ -4i=-4i}\) i nie wiem czy to jest dobry kierunek w rozwiązaniu tego..
Ktoś ma pomysł na to zadanie?

[kerajs]

Wystarczy spierwiastkować:
\(\displaystyle{ z-1=(z+1) \sqrt[4]{1}}\)
co daje cztery równania
\(\displaystyle{ 1)\\
z-1=(z+1) \cdot 1\\
2)\\
z-1=(z+1) \cdot i\\
3)\\
z-1=(z+1) \cdot (-1)\\
4)\\
z-1=(z+1) \cdot (-i)}\)
które pewnie umiesz rozwiązać.

[Janusz Tracz]

Albo standardowo korzystamy z wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)

\(\displaystyle{ (z-1)^{4}=(z +1) ^{4}}\)

\(\displaystyle{ (z-1)^{4}-(z +1) ^{4}=0}\)

\(\displaystyle{ \left( (z-1)^{2}-(z +1) ^{2}\right) \cdot \left( (z-1)^{2}+(z +1) ^{2}\right)=0}\)

\(\displaystyle{ \left( (z-1)^{2}-(z +1) ^{2}\right) \cdot \left( (z-1)^{2}-i^2(z +1) ^{2}\right)=0}\)

\(\displaystyle{ \left(z-1-(z +1) \right)\left(z-1+z +1 \right)\left( z-1-i(z +1)\right) \left( z-1+i(z +1)\right)=0}\)

W tym momencie widać już że rozwiązania są takie same jak u kerajsa i ławo je policzyć jako alternatywę czterech warunków (nawiasy przyrównane do zera).

[albertozzz]

Przyrównam i co dalej? Zastosować \(\displaystyle{ z=x+iy}\)? Czy jakoś inaczej to zrobić?

[Janusz Tracz]

Nie po prostu wyznaczasz \(\displaystyle{ z}\).

[albertozzz]

Chyba robię coś źle..

\(\displaystyle{ \left(z-1-(z +1) \right)=0\\
z-1-z+1=0\\
0=0\\\\
\left(z-1+z +1 \right)=0\\
2z=0\\
z=0\\\\
\left( z-1-i(z +1)\right)=0\\
z-1-iz-i=0\\
z=1\\
z=-1\\\\
\left( z-1+i(z +1)\right)=0\\
z-1+iz+i=0\\
z=1\\
z=-1}\)

[Premislav]

Trochę inaczej:
sprawdzamy, że \(\displaystyle{ -1}\) nie spełnia równania, dalej dzielimy równanie
\(\displaystyle{ (z-1)^{4}=(z +1) ^{4}}\) stronami przez \(\displaystyle{ (z+1)^4}\) i płynie z tego taki wniosek, że liczba \(\displaystyle{ w=\frac{z-1}{z+1}}\) jest pierwiastkiem zespolonym czwartego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), czyli
\(\displaystyle{ w=i \vee w=-i \vee w=1\vee w=-1}\).
Teraz przypominasz sobie, że \(\displaystyle{ w=\frac{1-z}{1+z}}\), wstawiasz i wyliczasz.

[albertozzz]

\(\displaystyle{ w= \frac{1-z}{1+z}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-x-iy}{1+x+iy} = \frac{(1-x)-iy}{(1+x)+iy} \cdot \frac{(1+x)-iy}{(1+x)-iy} = \frac{1-x ^{2}-2iy-y ^{2}}{1+2x+x ^{2}+y ^{2}}=..}\)


W taki sposób? Co dalej bo nie mam pomysłu?

[a4karo]

Chyba robię coś źle..

\(\displaystyle{ \left(z-1-(z +1) \right)=0}\)

\(\displaystyle{ \red z-1-z+1=0}\)

Tak się nie usuwa nawiasów

\(\displaystyle{ \left(z-1+z +1 \right)=0}\)

\(\displaystyle{ 2z=0}\)

\(\displaystyle{ z=0}\)

OK

\(\displaystyle{ \left( z-1-i(z +1)\right)=0}\)

\(\displaystyle{ z-1-iz-i=0}\)

\(\displaystyle{ {\red z=1}}\)

\(\displaystyle{ {\red z=-1}}\)

Skąd taki wniosek? Równanie liniowe ma na ogół jedno rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \left( z-1+i(z +1)\right)=0}\)

\(\displaystyle{ z-1+iz+i=0}\)

\(\displaystyle{ z=1}\)

\(\displaystyle{ z=-1}\)

to samo. równanie liniowe ma zwykle jedno rozwiązanie.

[albertozzz]

Wciąż nie znam rozwiązania tego. Pomimo wskazówek dalej nie wiem jak to zrobić.
Znajdzie się tutaj osoba która rozwiąże to zadanie?

[kerajs]

\(\displaystyle{ 1)\\
z-1=(z+1) \cdot 1\\
z-1=z+1\\
-1=1}\)
sprzeczność, brak rozwiązania

\(\displaystyle{ 2)\\
z-1=(z+1) \cdot i\\
z-1=iz+i\\
z-iz=1+i\\
z(1-i)=1+i\\
z= \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}= \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1}= \frac{2i}{2} =i}\)

Pozostałe zrób sam.

[albertozzz]

Z tym 1 i 2 nie mam problemu.. właśnie nw jak sb poradzić z 3 i 4.