Liczby zespolone a podzielność

[6234945]

Witam, podczas robienia zadań na 2 etap OMa znalazłem w literaturze zadanie "Wykazać, ze wielomian \(\displaystyle{ x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1}\)" i dopisek, ze dowód mozna w bardzo prosty sposób mozna wykazać przy pomocy liczb zespolonych. I moje pytanie brzmi, jak używać liczb zespolonych przy takich zadaniach?

[kerajs]

\(\displaystyle{ x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1 = \frac{x ^{55}-1 }{x^{11}-1} \\
x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x ^{5}-1 }{x-1}\\
\\
\frac{ x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}}{x^4+x^3+x^2+x+1} = \frac{\frac{x ^{55}-1 }{x^{11}-1}}{\frac{x ^{5}-1 }{x-1}} = \frac{x ^{55}-1 }{x^{11}-1}\frac{x-1}{x ^{5}-1 }= \\=\frac{ (x-1)\prod_{n=1}^{54} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{55} } )}{ (x-1)\prod_{n=1}^{10} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{11} } )} \cdot \frac{(x-1)}{ (x-1)\prod_{n=1}^{4} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{5} } )}=\\=
\frac{ \prod_{n=1}^{54} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{55} } )}{ \prod_{n=1}^{10} (x-e ^{i \frac{5n2 \pi }{55} } )} \cdot \frac{1}{ \prod_{n=1}^{4} (x-e ^{i \frac{11n2 \pi }{55} } )}}\)
Dwumiany w obu mianownikach nie dublują się, i wszystkie występują w iloczynie z licznika.

[Premislav]

Mamy \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x^5-1}{x-1}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\). Zatem pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1}\) są wszystkie pierwiastki zespolone 5. stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) oprócz samej jedynki.
Podobnie \(\displaystyle{ x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1=\frac{x^{55}-1}{x^{11}-1}= \frac{(x^5)^{11}-1}{x^{11}-1}}\), gdy \(\displaystyle{ x^{11}\neq 1}\)
Ponieważ jeśli \(\displaystyle{ x^5=1}\), to także \(\displaystyle{ (x^5)^{11}=1}\), a ponadto (co łatwo widać geometrycznie) jedyny pierwiastek jedenastego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), który jest też pierwiastkiem piątego stopnia z \(\displaystyle{ 11}\) to \(\displaystyle{ 1}\),
zatem pozostałe pierwiastki zespolone 5. stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) są też pierwiastkami \(\displaystyle{ x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1}\).
Oznaczmy te pierwiastki przez \(\displaystyle{ \xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4}\). Stosując kolejno twierdzenie Bezouta, dostajemy, że wielomian
\(\displaystyle{ x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-\xi_1)(x-\xi_2)(x-\xi_3)(x-\xi_4)=x^4+x^3+x^2+1}\), co kończy dowód.

[6234945]

O co chodzi z tym:
\(\displaystyle{ x ^{55} -1= \prod_{54}^{n=1} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{55} }}\)? Rozumiem ze \(\displaystyle{ e ^{i \pi } =-1}\) ale te wszystkie liczby w postaci \(\displaystyle{ e ^{ki \pi }}\) sa jakims ogolnym wxorem na pierwiastki?

[Premislav]

Widocznie nie znasz postaci wykładniczej liczby zespolonej.

Pierwiastki n-tego stopnia (\(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)) z \(\displaystyle{ 1}\) mają postać
\(\displaystyle{ z_k=\cos\left( \frac{2k\pi}{n}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ k\in 0,1\ldots n-1}\), zaś ze

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Eulera

wynika, że można napisać dla \(\displaystyle{ \varphi\in \RR}\):
\(\displaystyle{ \cos \varphi+i\sin \varphi=e^{i\pi \varphi}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{2k\pi}{n}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right)=e^{ \frac{i2k\pi}{n} }}\)

Ogólnie jeśli masz postać trygonometryczną dla \(\displaystyle{ z\in \CC\setminus\left\{ 0\right\}}\):
\(\displaystyle{ z=r \left( \cos \varphi+i\sin \varphi\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ r>0}\), zaś \(\displaystyle{ \varphi\in \RR}\), to możesz zapisać to inaczej (też ze wspomnianego wzoru Eulera):
\(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\).
Jest to często wygodniejsze, np. pozwala łatwo udowadniać pewne tożsamości trygonometryczne czy rozwiązywać pewne klasy równań. Należy tylko zauważyć, że z okresowości funkcji trygonometrycznych wynika, iż argument kątowy \(\displaystyle{ \varphi}\) nie jest wyznaczony jednoznacznie, tylko z dokładnością do krotności \(\displaystyle{ 2\pi}\). Czasami mówi się o argumencie głównym, wtedy w zależności od umowy ma się na myśli argument kątowy z przedziału
\(\displaystyle{ [-pi,pi)}\) bądź \(\displaystyle{ [0,2pi)}\).

A rozwiązanie, które ja napisałem, nie wymaga znajomości postaci wykładniczej (nie mówię, że jest lepsze).

[Dasio11]

Jest jeszcze taka drobnostka, że kiedy o dwóch wielomianach \(\displaystyle{ p(x), q(x)}\) piszemy, że jeden jest podzielny przez drugi, to mamy na myśli, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ r(x)}\) o współczynnikach rzeczywistych, taki że \(\displaystyle{ p(x) = r(x) q(x).}\) Natomiast z powyższych rozwiązań dostajemy \(\displaystyle{ r(x)}\) o współczynnikach zespolonych, należy więc wykazać jeszcze, że jego współczynniki są rzeczywiste.

[Premislav]

To nie jest drobnostka, ech, porażka. Ja dzisiaj mówię tak: [chrzanię] matematyka.pl, nie? Nie wchodzę tam.