Potęgowanie liczby zespolonej

[zaplotny]

Witam. Mam problem z pewnym zadaniem: Stosując wzór de Movire'a, oblicz \(\displaystyle{ \left( -\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^{21}}\). Wynik podać w postaci algebraicznej.

\(\displaystyle{ |z|=1}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi = -\frac{ \sqrt{6} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Teraz mam problem z wyliczeniem \(\displaystyle{ \varphi}\) , gdyż to nie są wartości tych podstawowych kątów \(\displaystyle{ (30,45,60,90)}\) , i nie wiem jak to zrobić. WolframAlpha wyliczył mi że wynik to: \(\displaystyle{ -1024i\sqrt{2}}\) .

[Janusz Tracz]

Domyślam się że chodziło o \(\displaystyle{ \left( - \frac{\sqrt{6}}{2}+i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)^{21}}\). Zauważ że \(\displaystyle{ \left( - \sqrt{6}+i \sqrt{2} \right)^3=16i \sqrt{2}}\) co daje nam możliwość zapisania \(\displaystyle{ \left( - \frac{\sqrt{6}}{2}+i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)^{21}= \frac{\left( 16i \sqrt{2}\right)^7 }{2^{21}}}\).
Jeśli koniecznie musisz wykorzystać wzór de Movire'a to zaznacz na płaszczyźnie zespolonej liczbę jaką potęgujesz. Wtedy nabędziesz intuicji jaki kąt (argument) może mieć ta liczba. Jeśli masz już równanie to też możesz dzieląc je przez siebie mamy wtedy \(\displaystyle{ \tg \varphi =- \frac{1}{ \sqrt{3} } \Rightarrow \varphi =150^{\circ}}\) to uprości obliczenia kąta.

-- 4 lut 2018, o 11:50 --

\(\displaystyle{ |z|=1}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi = -\frac{ \sqrt{6} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Tu coś pokręciłeś nie zgadza się nic. Policz jeszcze raz.

[zaplotny]

Faktycznie pokręciłem, teraz \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi = -\frac{ \sqrt{3} }{2}, \sin \varphi = \frac{1}{2}}\)
Od razu lepiej wygląda. Dzięki za pomoc